Siltumvadīšanas vienādojums¶

Šajā nodaļā nepārtrauktas vides līmenī apkopots FrontISTR aplūkotais siltumvadīšanas pamatvienādojums un tā robežnosacījumi. Laika diskretizācija un FEM diskretizācija ir atstātas diskretizācijas sadaļai (L3d) un risināšanas algoritmu sadaļai (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Pamatvienādojums¶

Siltumvadīšanas vienādojums nepārtrauktā vidē ir dots šādi.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Šeit \(\rho=\rho(x)\) apzīmē masas blīvumu, \(c=c(x,T)\) — īpatnējo siltumietilpību, \(T=T(x,t)\) — temperatūru, \(k=k(x,T)\) — siltumvadītspēju, \(Q=Q(x,T,t)\) — siltuma ģenerēšanu, \(x\) — pozīciju un \(t\) — laiku. \(k_x, k_y, k_z\) ir siltumvadītspējas attiecīgajos virzienos anizotropai siltumvadīšanai.

Konkrētas termiskās īpašības, tostarp temperatūras atkarību un anizotropiju, skatiet sadaļā Termiskās īpašības.

Robežnosacījumi¶

Pieņemsim, ka aplūkojamais apgabals ir \(S\), bet tā robeža ir \(\Gamma\). Pieņemot, ka visur uz \(\Gamma\) ir uzdots vai nu Dirihlē tipa, vai Neimaņa tipa robežnosacījums, robežnosacījumi ir šādi.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Šeit tiek pieņemts, ka \(T_1\) un \(q\) funkcionālās formas ir zināmas. \(q\) ir siltuma plūsma, kas iziet caur robežu. Robežas siltuma plūsma \(q\) sastāv no šādām trim komponentēm.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Šeit \(q_s\) ir sadalītā siltuma plūsma, \(q_c\) — konvektīvās siltuma pārneses radītā siltuma plūsma, bet \(q_r\) — starojuma siltuma pārneses radītā siltuma plūsma.

Šeit \(Tc=Tc(x,t)\) ir apkārtējās vides temperatūra konvektīvai siltuma pārnesei, \(hc=hc(x,t)\) — konvektīvās siltuma pārneses koeficients, \(Tr=Tr(x,t)\) — apkārtējās vides temperatūra starojuma siltuma pārnesei, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) — starojuma siltuma pārneses koeficients, \(\varepsilon\) — emisijas koeficients, \(\sigma\) — Stefana–Bolcmaņa konstante, bet \(F\) — skata koeficients.

Informāciju par šo nosacījumu norādīšanu ievades failā skatiet funkciju rokasgrāmatas sadaļā Robežnosacījumi un slodzes.

Vājā forma¶

Saistīšana ar konstrukciju analīzi¶

Saistītās tēmas¶

Pārejas siltumvadīšana — laika diskretizācija un nelineārā iterācija
Termiskās īpašības — materiālu īpašību un temperatūras atkarības formulējums
Formfunkcijas un galīgo elementu aproksimācija — FEM diskretizācijas ietvars
Funkciju rokasgrāmata: Robežnosacījumi un slodzes — robežnosacījumu ievade siltumvadīšanas analīzei