Inkrementālās analīzes ietvars¶

Inkrementālās analīzes nepieciešamība¶

Kā minēts iepriekš, mazu deformāciju problēmu analīzē galīgo elementu analīzi var veikt, izmantojot virtuālā darba principu, kas ir ekvivalents pamatvienādojumiem, piemēram, līdzsvara vienādojumiem, un diskretizējot šo izteiksmi ar galīgajiem elementiem. Arī galīgu deformāciju problēmās, kur aplūko lielas konstrukciju deformācijas, pamatā tiek izmantots tas pats virtuālā darba princips.

Tomēr galīgu deformāciju problēmās virtuālā darba principa vienādojums attiecībā pret pārvietojumu kļūst nelineārs pat tad, ja pieņem materiāla linearitāti. Nelineāru vienādojumu risināšanai parasti izmanto iteratīvus aprēķinus.

Šajos iteratīvajos aprēķinos izmanto inkrementālās analīzes metodi: aprēķinu veic pa daļām nelieliem slodzes pieaugumiem un tos secīgi summē, līdz sasniegts galīgais deformētais stāvoklis. Pieņemot mazu deformāciju problēmu, konfigurācija, kurā definē deformāciju un spriegumu, netiek īpaši nošķirta pirms un pēc deformācijas. Citiem vārdiem, mazu deformāciju pieņēmumā nav būtiski, vai pamatvienādojumi ir aprakstīti konfigurācijā pirms vai pēc deformācijas.

Veicot inkrementālo analīzi galīgu deformāciju problēmai, formulējums atšķiras atkarībā no tā, vai par atsauces konfigurāciju izvēlas sākotnējo konfigurāciju vai konfigurāciju inkrementa sākumā. Pirmo sauc par total Lagrange metodi, bet otro — par updated Lagrange metodi. Sīkāku informāciju skatiet atsaucēs nodaļas beigās un citos saistītajos materiālos.

Sākuma vienādojums: virtuālā darba princips laikā \(t'\)¶

Aplūko inkrementālu analīzi, kurā stāvoklis līdz laikam \(t\) ir zināms, bet stāvoklis laikā \(t' = t + \Delta t\) nav zināms (skat. 2.2.1. attēlu). Līdzsvara vienādojumi, robežnosacījumi un virtuālā darba princips laikā \(t'\) (izteikti pašreizējā konfigurācijā, izmantojot Cauchy spriegumu \(^{t'}\sigma\) un Almansi deformācijas lineāro daļu \(^{t'} A_{(L)}\)) ir doti sadaļā Virtuālā darba princips.

2.2.1. attēls. Inkrementālās analīzes koncepcija

Tomēr, tā kā šis sākuma vienādojums ir aprakstīts (nezināmajā) konfigurācijā laikā \(t'\), faktiskajā risināšanas procedūrā par atsauces konfigurāciju atkārtoti izvēlas vai nu laikā \(0\) esošo sākotnējo konfigurāciju \(V\), vai laikā \(t\) esošo pašreizējo konfigurāciju \(^{t'} v\), pēc tam vienādojumu pārraksta inkrementālā formā un atrisina:

• Total Lagrange metode — par atsauci izmanto sākotnējo konfigurāciju \(V\). Izmanto otro PK spriegumu \(\boldsymbol{S}\) un Green-Lagrange deformāciju \(\boldsymbol{E}\).
• Updated Lagrange metode — par atsauci izmanto pašreizējo konfigurāciju \(^{t}v\) inkrementa sākumā. Izmanto Cauchy spriegumu \(\boldsymbol{\sigma}\) un Almansi deformācijas lineāro daļu \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Abu formulējumu telpisko diskretizāciju (B matricu un iekšējo spēku vektoru) skatiet sadaļā Iekšējā virtuālā darba diskretizācija, bet linearizāciju un pieskares stinguma izveidi — sadaļā Pieskares stinguma matrica.

Saistītās tēmas¶

• Virtuālā darba princips — pamata sākuma vienādojums (vājā forma pašreizējā un sākotnējā konfigurācijā)
• Iekšējā virtuālā darba diskretizācija — B matricas un iekšējo spēku vektori TL/UL formulējumiem
• Pieskares stinguma matrica — linearizācijā iegūtās \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\)
• Newton-Raphson metode — iteratīvais algoritms