Pāriet uz saturu

Virtuālā darba princips

Pamatojoties uz līdzsvara vienādojumu un robežnosacījumiem, kas iegūti sadaļā Spriegums un saglabāšanās likumi, tiek atvasināts kontinuuma mehānikas robežvērtību problēmas vājais formulējums — virtuālā darba princips. Galīgo elementu diskretizācijas sākumpunkts ir šis vājais formulējums. Šajā nodaļā tiek sniegts gan pašreizējās konfigurācijas formulējums (Cauchy spriegums un Almansi deformācijas tenzora lineārā daļa), gan atskaites konfigurācijas formulējums (otrais Piola-Kirchhoff spriegums un Green-Lagrange deformācija), parādīta to ekvivalence un pēc tam pārbaudīta pāreja uz mazu deformāciju gadījumu.

Līdzsvara vienādojums un robežnosacījumi

Aplūko ķermeni, kas pašreizējā konfigurācijā aizņem apgabalu \(\Omega\), un ķermeņa spēku uz masas vienību apzīmē ar \(\boldsymbol{g}\). Robežu \(\Gamma\) sadala ģeometriskajā robežā \(\Gamma_B\), kur pārvietojums ir uzdots kā \(\bar{\boldsymbol{u}}\), un mehāniskajā robežā \(\Gamma_t\), kur virsmas spēks ir uzdots kā \(\bar{\boldsymbol{t}}\), pieņemot \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) un \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Statiskā problēmā no Spriegumā un saglabāšanās likumos dotā impulsa saglabāšanās likuma atmetot inerces locekli,

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

iegūst līdzsvara vienādojumu. Robežnosacījumi ir

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Tālāk virtuālā darba princips tiek atvasināts kā līdzsvara vienādojuma un mehāniskā robežnosacījuma \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) vājais formulējums. Ģeometriskais robežnosacījums \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) tiek iekļauts ar testa funkciju izvēli.

Vājais formulējums pašreizējā konfigurācijā

Vājajā formulējumā nezināmā pārvietojuma pieļaujamo telpu un testa funkciju telpu attiecīgi definē kā

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

Šeit \(d\) ir telpas dimensija, \(H^1(\Omega)\) ir Sobolev telpa, kurā funkcija un tās pirmās kārtas vājie atvasinājumi ir kvadrātintegrējami, un \(\delta\) apzīmē variāciju. Pašreizējās konfigurācijas formulējumā \(\Omega\) ir deformētā konfigurācija; praktiskajā skaitliskajā risināšanā to pārnes uz atskaites konfigurāciju vai zināmu starpkonfigurāciju.

Reizinot līdzsvara vienādojumu ar svara funkciju \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) un piemērojot Gauss diverģences teorēmu un mehānisko robežnosacījumu, virtuālā darba princips pašreizējā konfigurācijā kļūst par

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Šeit \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ir Almansi deformācijas tenzora lineārā daļa, ko definē kā

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Tās variācija ir \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Tātad jāatrod \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) tā, lai virtuālā darba vienādojums būtu izpildīts jebkuram \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Kreisā puse ir iekšējo spēku virtuālais darbs, bet labā puse — uzdoto virsmas spēku un ķermeņa spēku ārējais virtuālais darbs.

Tā kā šis vienādojums ir rakstīts deformētajā (pašreizējā) konfigurācijā, praktiskajā risināšanā par atskaites konfigurāciju atkārtoti izvēlas sākuma konfigurāciju \(\Omega_0\) vai zināmu starpkonfigurāciju, vienādojumu pārveido inkrementālā formā un tad atrisina. Konkrētu atskaites konfigurācijas izvēli (Total Lagrange / Updated Lagrange) un inkrementālo sadalījumu skatiet sadaļā Inkrementālās analīzes ietvars.

Vājais formulējums sākuma konfigurācijā

Aplūko ķermeni, kas atskaites konfigurācijā aizņem apgabalu \(\Omega_0\), un tā robežu \(\Gamma_0\) sadala \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Pārnesot pašreizējās konfigurācijas formulējumu uz atskaites konfigurāciju, enerģētiski konjugētais sprieguma un deformācijas pāris ir otrais Piola-Kirchhoff spriegums \(\boldsymbol{S}\) un Green-Lagrange deformācija \(\boldsymbol{E}\). Tad virtuālā darba princips sākuma konfigurācijā ir

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Šeit \(\rho_0\) ir masas blīvums atskaites konfigurācijā; masas saglabāšanās likums \(\rho_0 = J\rho\) nodrošina ekvivalenci ar tilpuma spēka formulējumu pašreizējā konfigurācijā.

Pašreizējās un sākuma konfigurācijas formulējumu ekvivalence

Iekšējo spēku virtuālais darbs abos formulējumos sakrīt, izmantojot transformāciju ar deformācijas gradientu \(\boldsymbol{F}\) un tilpuma attiecību \(J = \det \boldsymbol{F}\), proti,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Arī ārējo spēku locekļi ir ekvivalenti, izmantojot masas saglabāšanās likumu un virsmas spēku transformāciju. Tādēļ virtuālā darba vienādojumi pašreizējā un sākuma konfigurācijā izsaka vienu un to pašu principu dažādās konfigurācijās. Metode, kas atsaucas uz atskaites konfigurāciju, atbilst Total Lagrange metodei, bet metode, kas atsaucas uz pašreizējo konfigurāciju (iepriekšējo konverģēto konfigurāciju), — Updated Lagrange metodei.

Pāreja uz mazām deformācijām

Mazu deformāciju pieņēmumā \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) un \(J \approx 1\) atšķirība starp pašreizējo un atskaites konfigurāciju izzūd, otrais PK spriegums sakrīt ar Cauchy spriegumu (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), bet gan Green-Lagrange deformācija, gan Almansi deformācijas tenzora lineārā daļa pāriet uz mazo deformāciju tenzoru \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Tad virtuālā darba princips pāriet uz vājo formulējumu ar Cauchy spriegumu \(\boldsymbol{\sigma}\) un mazo deformāciju \(\boldsymbol{\varepsilon}\),

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

kas ir vājais formulējums, ko tieši izmanto mazu deformāciju lineārās elastīgās statiskās analīzes diskretizācijai (Lineārā elastīgā statiskā analīze (ievads/pielikums) sāk ar šo formu un parāda elementa stinguma \(\boldsymbol{K}^e\) izveidi un globālā vienādojuma \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) montāžu).

Ievietojot lineārās elastības konstitutīvo likumu \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) un Voigt pierakstā rakstot \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), vājais formulējums kļūst par

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

šādu formu.

Saistītās sadaļas

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status