Spriegums un saglabāšanās likumi¶

Šajā nodaļā apkopotas sprieguma tenzoru definīcijas un savstarpējās sakarības, kā arī līdzsvara vienādojumi un sprieguma simetrija, kas izriet no masas, lineārā impulsa un leņķiskā impulsa saglabāšanās likumiem. Trīs sprieguma tenzori — Cauchy spriegums \(\boldsymbol{\sigma}\), pirmais Piola-Kirchhoff spriegums \(\boldsymbol{P}\) un otrais Piola-Kirchhoff spriegums \(\boldsymbol{S}\) — tiek ieviesti atkarībā no tā, kura konfigurācija tiek izmantota atskaites virsmai un spēka vektoram. Konfigurācijas, kustības un deformācijas gradienta definīcijas skatiet sadaļā Kustība, deformācija un deformācijas mērs, bet simbolu sarakstu — sadaļā Fizikālo lielumu simbolu saraksts.

Cauchy sprieguma tenzors¶

Aplūkosim bezgalīgi mazu virsmu pašreizējās konfigurācijas punktā \(\boldsymbol{x}\) ar laukumu \(d\Gamma\) un uz āru vērstu vienības normāli \(\boldsymbol{n}\). Spēku, kas darbojas uz šo virsmu, apzīmēsim ar \(d\boldsymbol{f}\), un sprieguma vektoru \(\boldsymbol{t}\) definēsim kā spēku uz laukuma vienību: \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) ir atkarīgs gan no stāvokļa \(\boldsymbol{x}\), gan no normāles \(\boldsymbol{n}\). No impulsa saglabāšanās likuma, to piemērojot bezgalīgi mazam tetraedram, izriet, ka \(\boldsymbol{t}\) ir lineārs attiecībā pret \(\boldsymbol{n}\) un pastāv otrās kārtas tenzors \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\), kuram

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ir spēkā jebkuram \(\boldsymbol{n}\) (Cauchy sprieguma teorēma). Šo tenzoru \(\boldsymbol{\sigma}\) sauc par Cauchy sprieguma tenzoru, un to sauc arī par patieso spriegumu, jo tas izsaka spēku uz laukuma vienību attiecībā pret pašreizējās konfigurācijas ģeometriju. Komponente \(\sigma_{ij}\) izsaka spēka uz laukuma vienību \(x_i\) komponenti, kas pašreizējā konfigurācijā darbojas uz bezgalīgi mazu virsmu, kura ir perpendikulāra koordinātu asij \(x_j\).

Kā turpmāk parādīts no leņķiskā impulsa saglabāšanās likuma, Cauchy spriegums ir simetrisks tenzors:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Tādēļ trijās dimensijās tam ir sešas neatkarīgas komponentes (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Sprieguma vektorizācija Voigt pierakstā balstās uz šo simetriju (skatiet Tenzoru pieraksts un matemātiskie pamati). Cauchy spriegums tiek izmantots sprieguma rezultātu izvadē FrontISTR ģeometriski nelineārajā analīzē ar Updated Lagrange metodi un mazu deformāciju analīzē.

Pirmais un otrais Piola-Kirchhoff spriegums¶

Galīgu deformāciju gadījumā bieži ir ērti spriegumu izteikt, izmantojot atskaites konfigurācijas virsmas un vektorus, tādēļ tiek ieviesti divi Piola-Kirchhoff sprieguma tenzori. Atskaites konfigurācijas bezgalīgi mazas virsmas laukumu apzīmēsim ar \(d\Gamma_0\), bet uz āru vērsto vienības normāli — ar \(\boldsymbol{N}\).

Pirmais Piola-Kirchhoff spriegums (pirmais PK spriegums, nominālais spriegums) \(\boldsymbol{P}\) tiek definēts kā sprieguma tenzors, kas iegūts, ja pašreizējās konfigurācijas spēks \(d\boldsymbol{f}\) darbojas uz atskaites konfigurācijas bezgalīgi mazu virsmu:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Izmantojot Nanson formulu \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) kopā ar Cauchy sprieguma teorēmu, iegūst sakarību ar Cauchy spriegumu:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Pirmais PK spriegums vispārīgā gadījumā nav simetrisks.

Otrais Piola-Kirchhoff spriegums (otrais PK spriegums) \(\boldsymbol{S}\) tiek definēts kā sprieguma tenzors, kas iegūts, pašreizējās konfigurācijas spēku \(d\boldsymbol{f}\) ar \(\boldsymbol{F}^{-1}\) pārnesot atpakaļ uz atskaites konfigurāciju un attiecinot to uz atskaites konfigurācijas bezgalīgi mazu virsmu:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Gan spēka vektors, gan virsma, uz kuru tas darbojas, ir izteikti ar atskaites konfigurācijas lielumiem; tādēļ šis spriegums ir invariants pret cieta ķermeņa rotāciju un ir simetrisks tenzors. Sakarība ar pirmo PK spriegumu un pārveidojumi starp to un Cauchy spriegumu ir

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Otrais PK spriegums tiek iegūts no hiperelastiskās deformācijas enerģijas funkcijas \(W(\boldsymbol{C})\) kā \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\), un Total Lagrange metodē tas kopā ar Green-Lagrange deformāciju \(\boldsymbol{E}\) tiek izmantots kā darbā konjugētais pāris \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Atskaites konfigurācijas un simetrijas īpašības ir apkopotas nākamajā tabulā. Mazu deformāciju robežgadījumā (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) visi trīs spriegumi sakrīt.

Sprieguma tenzors	Atskaites virsma	Spēka vektors	Simetrija	Lietojums
Cauchy spriegums \(\boldsymbol{\sigma}\)	Pašreizējā konfigurācija \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Pašreizējā konfigurācija \(d\boldsymbol{f}\)	Simetrisks	Updated Lagrange metode / mazu deformāciju analīze
Pirmais PK spriegums \(\boldsymbol{P}\)	Atskaites konfigurācija \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Pašreizējā konfigurācija \(d\boldsymbol{f}\)	Vispārīgā gadījumā nesimetrisks	Līdzsvara vienādojumi atskaites konfigurācijā
Otrais PK spriegums \(\boldsymbol{S}\)	Atskaites konfigurācija \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Atskaites konfigurācija \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetrisks	Total Lagrange metode / hiperelastība

Masas un impulsa saglabāšanās likumi un līdzsvara vienādojumi¶

Ja \(\rho\) ir masas blīvums pašreizējā konfigurācijā, bet \(\rho_0\) — masas blīvums atskaites konfigurācijā, tad masas saglabāšanās likums \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), izmantojot tilpuma elementa pārveidojumu \(dv = J\, dV\), pāriet lokālajā formā

\[ \rho_0 = J \rho \]

Pieņemsim, ka \(\boldsymbol{g}\) ir ķermeņa spēks uz masas vienību, bet \(\boldsymbol{a}\) — paātrinājums. Piemērojot Cauchy sprieguma teorēmu un Gauss diverģences teorēmu lineārā impulsa saglabāšanās likumam (Euler pirmajam kustības likumam), iegūst lokālo līdzsvara vienādojumu (kustības vienādojumu) pašreizējā konfigurācijā:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Pārrakstot integrāli atskaites konfigurācijā ar Nanson formulu un \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), iegūst lokālo formu atskaites konfigurācijā:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Abas formas ir ekvivalentas, izmantojot sprieguma pārveidošanas sakarību un \(\rho_0 = J\rho\). Neņemot vērā inerces locekli,

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

iegūst statiskā līdzsvara vienādojumus, kas ir FrontISTR statiskās analīzes (lineārās un nelineārās) sākumpunkts.

Leņķiskā impulsa saglabāšanās un sprieguma simetrija¶

Apvienojot leņķiskā impulsa saglabāšanās likumu (Euler otro kustības likumu) ar līdzsvara vienādojumu, kas izriet no lineārā impulsa saglabāšanās likuma, iegūst Cauchy sprieguma tenzora simetriju:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Tādējādi trijās dimensijās tam ir sešas neatkarīgas komponentes. Transponējot abas pārveidojuma \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) puses un izmantojot \(\boldsymbol{F}\) nedeģenerētību, iegūst, ka arī otrais PK spriegums ir simetrisks:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

un tam tāpat ir sešas neatkarīgas komponentes. Savukārt pirmais PK spriegums \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) vispārīgā gadījumā nav simetrisks; ir spēkā tikai sakarība \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (t. i., \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) ir simetrisks), un tam ir deviņas neatkarīgas komponentes.

Šīs simetrijas ir priekšnoteikums sprieguma attēlošanai kā sešu komponenšu vektoram Voigt pierakstā. Voigt pieraksta konvencijas un materiāla matricas veidošanu skatiet sadaļās Tenzoru pieraksts un matemātiskie pamati un Lineārā elastība.