Kustība, deformēšanās un deformācija¶

Atskaites un pašreizējā konfigurācija¶

Konfigurāciju definīcija¶

Lai atšķirtu, kura laika momenta forma tiek izmantota par pamatu fizikālo lielumu aprakstam, šajā rokasgrāmatā izmanto divas konfigurācijas.

Atskaites konfigurācija (reference configuration): nedeformētā forma analīzes sākumā (laikā \(0\)), ko sauc arī par sākotnējo konfigurāciju. Punktu atskaites konfigurācijā apzīmē ar materiālo koordinātu \(\boldsymbol{X}\), tilpumu ar \(V\) un virsmu ar \(S\).
Pašreizējā konfigurācija (current configuration): deformētā forma laikā \(t\). Punktu pašreizējā konfigurācijā apzīmē ar telpisko koordinātu \(\boldsymbol{x}\), tilpumu ar \(v\) un virsmu ar \(s\).

Kustību attēlo kā attēlojumu starp abām konfigurācijām, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), un pārvietojumu definē kā \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

No konfigurācijas atkarīgā apzīmējumu konvencija (lielie/mazie burti)¶

Simbola burtu reģistrs norāda, kurai konfigurācijai fizikālais lielums pieder.

Atskaites konfigurācijai piederošus lielumus raksta ar lielajiem burtiem (piemēram, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Pašreizējai konfigurācijai piederošus lielumus raksta ar mazajiem burtiem (piemēram, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Lielumiem, kas saista abas konfigurācijas, piemēram, pirmajam Piola-Kirchhoff spriegumam \(\boldsymbol{P}\), izmanto tradicionālo apzīmējumu un to precizē attiecīgajā tekstā.
Mazo deformāciju teorijā abu konfigurāciju atšķirība izzūd, tādēļ izmanto tikai mazos burtus (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Atskaites un pašreizējās konfigurācijas gradients¶

Apzīmējums un nozīme atšķiras atkarībā no tā, attiecībā pret kuru konfigurāciju tiek ņemts telpiskais atvasinājums.

Atskaites konfigurācijas gradients \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradients attiecībā pret materiālajām koordinātām. Piemērs: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Pašreizējās konfigurācijas gradients \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradients attiecībā pret telpiskajām koordinātām. Piemērs: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Tie ir saistīti ar \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Laika atvasinājumu konvenciju (materiālo laika atvasinājumu \(\dot{(\cdot)}\)) skatiet sadaļā Tensoru pieraksts un matemātiskie pamati.

Kustības apraksts¶

Kustības attēlojums un materiālais/telpiskais apraksts¶

Ja kontinuumu uzskata par materiālo punktu kopu, ko apzīmē ar to pozīciju \(\boldsymbol{X}\) laikā \(0\), kustību apraksta attēlojums \(\phi\), kas materiālajam punktam \(\boldsymbol{X}\) piešķir tā pozīciju \(\boldsymbol{x}\) laikā \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Ja par atskaites konfigurāciju izvēlas sākotnējo konfigurāciju, tad \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Atkarībā no neatkarīgo mainīgo izvēles izšķir divus aprakstus.

Materiālais apraksts (Lagrange apraksts): fizikālos lielumus izsaka kā \((\boldsymbol{X}, t)\) funkcijas. Cietvielu mehānikā tā ir dabiska izvēle, jo atskaites konfigurācija tiek dota kā fiksēta forma.
Telpiskais apraksts (Euler apraksts): fizikālos lielumus izsaka kā \((\boldsymbol{x}, t)\) funkcijas. To parasti izmanto šķidrumu mehānikā.

FrontISTR strukturālā analīze pamatā balstās uz materiālo aprakstu, taču Updated Lagrange metodē pašreizējā konfigurācija tiek izmantota kā jaunā atskaites konfigurācija, tādēļ tiek lietoti arī telpiskā apraksta lielumi.

Pārvietojums, ātrums un paātrinājums¶

Pārvietojumu \(\boldsymbol{u}\), kā norādīts iepriekš, definē ar \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Par tā lielumu netiek izdarīti pieņēmumi, tāpēc tiek ietvertas arī galīgas deformācijas. Ātruma un paātrinājuma vektorus definē kā \(\boldsymbol{u}\) materiālos laika atvasinājumus, sekojot fiksētam materiālajam punktam:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

un šādi tie tiek definēti.

Deformācijas gradients un deformācijas tensori¶

Deformācijas gradienta tensors¶

Galīgu deformāciju kontinuuma mehānikas pamatlielums ir deformācijas gradienta tensors \(\boldsymbol{F}\). Tas ir lineārs attēlojums, kas atskaites konfigurācijas infinitesimālo līnijas elementu \(d\boldsymbol{X}\) pārveido par pašreizējās konfigurācijas infinitesimālo līnijas elementu \(d\boldsymbol{x}\), un to definē kā kustības attēlojuma gradientu attiecībā pret materiālajām koordinātām:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

(\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). Nedeformētā stāvoklī \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) plaši izmanto deformācijas un sprieguma definīcijās un fizikālo lielumu pārveidošanai starp konfigurācijām.

Tilpuma izmaiņas attiecība¶

Atskaites konfigurācijas infinitesimālā tilpuma \(dV\) un pašreizējās konfigurācijas infinitesimālā tilpuma \(dv\) attiecību sauc par tilpuma izmaiņas attiecību \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Pieņemot kontinuuma invertējamību, tiek pieņemts \(J > 0\). Masas nezūdamības likumu raksta kā \(\rho_0 = J\rho\).

Labais un kreisais Cauchy-Green deformācijas tensors¶

Tā kā deformācijas gradients \(\boldsymbol{F}\) ietver cietķermeņa rotāciju, deformācijas mēram izmanto lielumu, no kura cietķermeņa rotācija ir izslēgta. Labo Cauchy-Green deformācijas tensoru \(\boldsymbol{C}\) (atskaites konfigurācijā) un kreiso Cauchy-Green deformācijas tensoru \(\boldsymbol{b}\) (pašreizējā konfigurācijā) definē kā

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Abi ir simetriski tensori un tiem ir vienādas īpašvērtības (galveno stiepuma attiecību kvadrāti). Ar tiem izsaka hiperelastīgās deformācijas enerģijas funkcijas galvenos invariantus.

Deformācijas tensori¶

Green-Lagrange deformācijas tensors¶

Kā deformācijas mēru attiecībā pret atskaites konfigurāciju Green-Lagrange deformācijas tensoru \(\boldsymbol{E}\) definē ar

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Tas ir simetrisks tensors, kas raksturo infinitesimālu vektoru skalārā reizinājuma izmaiņas atskaites konfigurācijā, ir invariants pret cietķermeņa rotāciju un nedeformētā stāvoklī dod \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Izmantojot \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\),

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

to izsaka kā pārvietojuma gradienta pirmās un otrās kārtas locekļu summu, un otrās kārtas loceklis attēlo ģeometrisko nelinearitāti. Total Lagrange metodē to izmanto kā sprieguma konjugēto pāri \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi deformācijas tensors¶

Kā deformācijas mēru attiecībā pret pašreizējo konfigurāciju Almansi deformācijas tensoru \(\boldsymbol{e}\) definē ar

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Tas ir saistīts ar Green-Lagrange deformāciju ar \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pullback).

Mazo deformāciju tensors¶

Ja pārvietojuma gradients ir mazs (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange deformācijas otrās kārtas locekli var neņemt vērā un abu konfigurāciju atšķirība izzūd; tādēļ iegūst mazo deformāciju tensoru \(\boldsymbol{\varepsilon}\), kura gradients izteikts telpiskajās koordinātās:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR lineārajā statiskajā analīzē, modālajā analīzē, frekvenču atbildes analīzē un lineārajā dinamiskajā analīzē izmanto šo deformācijas mēru. Galīgu deformāciju analīzē Total Lagrange metodē izmanto \(\boldsymbol{E}\), bet Updated Lagrange metodē — deformācijas ātruma tensoru \(\boldsymbol{D}\) attiecībā pret pašreizējo konfigurāciju.