Uzlabotas elementu formulācijas¶

Standarta pārvietojumu formulācija, kas aprakstīta sadaļā Trīsdimensiju cietķermeņa elementu formulācija, gandrīz nesaspiežamiem materiāliem vai lieces dominētām plānsienu konstrukcijām rada nepamatoti lielu stingumu, ko sauc par bloķēšanos (tilpuma bloķēšanos vai bīdes bloķēšanos). Lai to novērstu, FrontISTR nodrošina B-bar un F-bar metodes, kas aizstāj tikai B matricas vai deformācijas gradienta tilpuma daļu, nesaderīgos elementus ar iekšējām brīvības pakāpēm, u-p jauktos elementus, kuros spiediens ir neatkarīgs nezināmais lauks, kā arī MITC čaulas elementus un siju elementus plākšņu un siju konstrukcijām.

Šajā nodaļā šīs uzlabotās un konstrukciju elementu formulācijas ir apkopotas elementu līmenī.

B-bar metode¶

Ja 8 mezglu lineāru heksaedrisku elementu izmanto gandrīz nesaspiežamam materiālam, viena elementa deformācijas nav savietojamas ar nemainīga tilpuma ierobežojumu, un rodas pārmērīgs stingums, ko sauc par tilpuma bloķēšanos. B-bar metode aizstāj B matricas komponentes, kas veicina tilpuma izplešanos, ar vērtībām, kas novērtētas elementa centrā, tādējādi mazinot pārmērīgos ierobežojumus [Hughes1980].

Apzīmēsim ar \(\bar{\boldsymbol{B}}\) B matricu, kas elementa centrā \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) aprēķināta no formas funkciju telpiskajiem atvasinājumiem, un ar \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) — parasto B matricu integrācijas punktā \(\boldsymbol{r}\). Pārvietojuma–deformācijas sakarībā mezgla \(\alpha\) brīvības pakāpei \(i\) tilpuma deformācijas komponentēm \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) pievieno

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

bet bīdes komponentēm \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) izmanto parasto \(\boldsymbol{B}\). Ar šādi iegūto B-bar matricu montē elementa stingumu un iekšējo spēku vektoru.

FrontISTR šo formulāciju nodrošina tikai 8 mezglu lineārajam heksaedriskajam elementam (elementa ID 361, elementu numerācijas sistēma), un tā ir piemērojama gan mazu deformāciju, gan Total Lagrange, gan Updated Lagrange formulējumam.

F-bar metode¶

Galīgo deformāciju gadījumā tilpuma izmaiņas nelineāri ietekmē deformācijas gradients \(\boldsymbol{F}\), tādēļ F-bar metode [deSouzaNeto1996] tilpuma bloķēšanos novērš deformācijas gradienta līmenī analogi B-bar metodei.

Apzīmēsim ar \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) deformācijas gradienta tilpuma attiecību elementa centrā \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) un ar \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) — tilpuma attiecību integrācijas punktā, un aizstāsim integrācijas punkta deformācijas gradientu ar

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Tad \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), un tilpuma attiecība visā elementā tiek pielīdzināta elementa centra vērtībai. Sprieguma novērtēšanai un deformācijas–pārvietojuma matricas veidošanai izmanto aizstāto \(\bar{\boldsymbol{F}}\), bet elementa stinguma pieskares matricā iekļauj papildu locekļus, ko rada šī aizstāšana.

FrontISTR F-bar metodi realizē tikai 8 mezglu lineārajam heksaedriskajam elementam; tā ir piemērojama mazu deformāciju, Total Lagrange un Updated Lagrange nelineārajai ģeometrijai.

Nesaderīgais elements¶

8 mezglu lineāram heksaedriskam elementam nav lieces režīmam nepieciešamo deformācijas brīvības pakāpju, tādēļ lieces dominētos uzdevumos rodas lieces bloķēšanās. Nesaderīgais elements [Taylor1976] šo trūkumu novērš, ieviešot elementa iekšienē papildu pārvietojuma režīmus.

Papildus elementa mezglu pārvietojumiem \(\boldsymbol{u}^e\) katram elementam ievieš iekšējas nesaderīgā režīma brīvības pakāpes \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) — 3 virzieni × 3 režīmi — un pārvietojuma lauku aproksimē kā

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Nesaderīgās formas funkcijas dabiskajām koordinātām \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) definē kā \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Tās negarantē nepārtrauktību uz elementa robežas, bet elementa iekšienē pievieno telpu, kas spēj reproducēt lieces režīma deformācijas.

Elementa stingumu vispirms izveido ārējo un iekšējo brīvības pakāpju bloku sadalījumā

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Pēc tam veic statisko kondensāciju, izslēdzot iekšējās brīvības pakāpes ar \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), un globālajai montāžai nodod elementa stingumu tikai ārējām brīvības pakāpēm

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

Globālajai montāžai tiek nodots šis rezultāts.

FrontISTR nesaderīgo elementu realizē tikai 8 mezglu lineārajam heksaedriskajam elementam (C3D8IC), un to var izmantot mazu deformāciju, Total Lagrange un Updated Lagrange formulējumos.

U-P jauktais elements¶

Atšķirībā no B-bar un F-bar metodēm, kas koriģē tilpuma komponenti pārvietojumu formulējuma ietvarā, u-p jauktais (U-P) elements ievieš spiedienu \(\lambda\) kā no pārvietojuma neatkarīgu nezināmo lauku [Bathe1996]. Gandrīz nesaspiežamos materiālos (piemēram, gumijveida materiālos ar Puasona koeficientu ļoti tuvu 0,5 vai metālos pēc plastiskas deformācijas) mēģinājums izpildīt nemainīga tilpuma ierobežojumu tikai ar pārvietojuma lauku rada tilpuma bloķēšanos; neatkarīgs spiediena mainīgais šo ierobežojumu atslābina.

Spriegumu sadala deviatoriskajā komponentē un spiedienā:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Šeit \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ir deviatoriskā elastības matrica, kas iegūta, no elastības matricas atņemot tilpuma daļu, kas proporcionāla tilpuma modulim \(K\). Spiedienu \(\lambda\) un tilpuma deformāciju \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) saista ierobežojums ar saspiežamību \(\alpha^{-1} = 1/K\):

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizējot ar pārvietojumu \(\boldsymbol{u}\) un spiedienu \(\lambda\) kā nezināmajiem, iegūst elementa saistīto vienādojumu sistēmu

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Šeit \(\mathbf{K}_{uu}\) ietver deviatorisko elastības komponenti un galīgo deformāciju gadījumā arī ģeometrisko stingumu, \(\mathbf{K}_{up}\) ir matrica, kas saista tilpuma deformāciju ar spiedienu, bet \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ir spiediena stabilizācijas loceklis (\(\boldsymbol{N}_p\) ir spiediena formas funkcija). Tā kā spiediena brīvības pakāpes ir lokālas elementam,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

tās statiski kondensē šādā formā un globālajai montāžai nodod efektīvo stingumu tikai ārējām (pārvietojuma) brīvības pakāpēm.

FrontISTR U-P elementu realizē tikai 8 mezglu lineārajam heksaedriskajam elementam, ar vienu spiediena brīvības pakāpi katrā elementā (konstanta elementa iekšienē). To var izmantot mazu deformāciju, Total Lagrange un Updated Lagrange formulējumos. Updated Lagrange gadījumā deviatoriskais spriegums tiek atjaunināts ar objektīvu sprieguma ātrumu (Jaumann/Hughes-Winget tipa), bet spiedienu \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) uzliek no statiskajā kondensācijā iegūtās vērtības.

Čaulas elementi¶

Plānsienu plākšņu un čaulu konstrukcijām izmanto čaulas elementus, kuru pamatā ir Reissner-Mindlin plākšņu un čaulu teorija. Zemas kārtas pārvietojumu čaulas elementos, samazinoties biezumam, šķērsvirziena bīdes deformācija tiek pārvērtēta mehānismā, kas līdzīgs tilpuma bloķēšanai (bīdes bloķēšana), un lieces režīma stingums divergējoši palielinās. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) metode [Dvorkin1984] [Bathe1986] šo problēmu novērš, atkārtoti paraugojot tikai bīdes deformācijas komponentes iepriekš noteiktos piesaistes punktos elementā un interpolējot iegūtās vērtības atpakaļ elementā.

MITC čaulas elementa mezgli atrodas uz izliekuma vidusvirsmas; katram mezglam ir 6 brīvības pakāpes — 3 translācijas komponentes un 3 rotācijas komponentes ap vidusvirsmas normāli. Elementa stingumu novērtē ar kopumā trīsdimensiju Gausa integrāciju pa vidusvirsmas dabiskajām koordinātām un biezuma virzienu, bet plāksnes biezumu \(h\) konstitutīvā likuma aprēķinā dod kā elementa īpašību.

FrontISTR nodrošina MITC3 (elementa ID 731), MITC4 (741) un MITC9 (743), ko apstrādā ar vienu mezglu slāni uz vidusvirsmas, kā arī slāņotus čaulas elementus MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 mezgli, 3 brīvības pakāpes mezglā) un MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 mezgli, 3 brīvības pakāpes mezglā), kuros mezgli izvietoti divos slāņos biezuma virzienā. Slāņotajos čaulas elementos mezglam ir tikai 3 translācijas brīvības pakāpes, bet lieces režīmu, kas atbilst rotācijas brīvības pakāpēm, attēlo divu slāņu izvietojums.

Siju elementi¶

Stieņveida konstrukcijas, piemēram, sijas un karkasus, diskretizē ar siju elementiem. FrontISTR izmanto Timoshenko sijas formulējumu, kas ņem vērā bīdes deformāciju un apraksta gan lieci, gan bīdi kā pārvietojuma un rotācijas brīvības pakāpju funkcijas.

Sijas elementa mezglam ir 6 brīvības pakāpes — 3 translācijas komponentes un 3 rotācijas komponentes ap garenasi un šķērsasīm —, un elementa stingumu novērtē ar viendimensijas skaitlisko integrāciju gar sijas asi. Šķērsgriezuma laukumu \(A\) un šķērsgriezuma otros momentus \(I\) lieces un vērpes virzienos dod kā elementa šķērsgriezuma konstantes; kopā ar materiāla Junga moduli \(E\) un bīdes moduli \(G\) tie nosaka stiepes, lieces, vērpes un bīdes stinguma koeficientus.

FrontISTR nodrošina 2 mezglu taisnu sijas elementu (elementa ID 611) un ar 3 mezgliem attēlotu 4 mezglu tetraedriskā cietķermeņa–sijas hibrīdelementu (641, jauktām brīvības pakāpēm).

Saistītās tēmas¶

Trīsdimensiju cietķermeņa elementu formulācija — salīdzinājums ar standarta formulējumu
Elementu numerācijas sistēma un formas funkciju bibliotēka — elementu tipu ID
Elementu bibliotēka (funkcijas) — norādījumi elementu izvēlei