Trīsdimensiju telpisko elementu formas funkcijas¶

Šajā nodaļā apkopotas dabiskās koordinātu sistēmas un konkrētās formas trīsdimensiju telpiskajiem elementiem, ko FrontISTR izmanto kontinuuma analīzē, formas funkcijām \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), kas ieviestas sadaļā Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija. Aplūkoti seši tipi: pirmās/otrās kārtas tetraedri (341, 342), pirmās/otrās kārtas trīsstūra prizmas (351, 352) un pirmās/otrās kārtas heksaedri (361, 362). Mezglu secību un virsmu numurus HEC-MW tīkla formātā skatiet funkciju atsauces sadaļā Elementu bibliotēka.

Elementa integrāļu konstruēšana no šīm formas funkcijām un Jakobiāna determinanta notiek saskaņā ar sadaļu Skaitliskā integrēšana. Elementa 361 B-bar, F-bar un nesaderīgais formulējums, kā arī siju un apvalka elementu formas funkcijas aplūkotas sadaļā Uzlabotie elementu formulējumi.

Dabiskā koordinātu sistēma un iekšējā mezglu secība¶

Formas funkcijas definē katra elementa dabiskajās koordinātās \(\boldsymbol{r}\). Trīsdimensiju telpiskajiem elementiem atkarībā no elementa formas izmanto šādas trīs dabisko koordinātu sistēmas.

Heksaedrs (361, 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
Tetraedrs (341, 342): tilpuma koordinātas \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). Par neatkarīgajiem mainīgajiem izvēlas \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) un nosaka \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
Trīsstūra prizma (351, 352): pamatnes trīsstūra tilpuma koordinātas \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) apvieno ar aksiālo koordinātu \(\zeta \in [-1, 1]\), iegūstot \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Palīglielumu \(a = 1 - \xi - \eta\) izmanto kā pamatnes trešo tilpuma koordinātu.

Pirmās kārtas elementiem elementu mezglu numerācija HEC-MW ievades formātā sakrīt ar iekšējo formātu. Otrās kārtas elementiem abu formātu malu vidusmezglu secības konvencijas atšķiras: FrontISTR ievadē pieņem HEC-MW formātu (vispirms stūra mezgli, pēc tam vidusmezgli malu 1-2, 2-3, … secībā), savukārt elementu bibliotēkas formas funkcijas ir ieviestas ar citu mezglu secību.

Atšķirību starp abiem formātiem novērš hecmw2fstr_mesh_conv, kas tūlīt pēc tīkla nolasīšanas pārkārto mezglus katram elementam. No trīsdimensiju telpiskajiem elementiem pārveido šādus divus tipus.

Elementa tips	Pārveidošanas tabula	Saturs
342 (otrās kārtas tetraedrs)	`Table342`	10 mezglus pārkārto secībā \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (otrās kārtas trīsstūra prizma)	`Table352`	15 mezglus pārkārto secībā \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Pārkārtošana tiek veikta tieši elementu savienojamības glabāšanas masīvā, tādēļ turpmākajos elementu bibliotēkas izsaukumos vienmēr izmanto FrontISTR iekšējo mezglu secību. Otrās kārtas heksaedram 362 pārveidošanas tabulas nav, jo vidusmezglu secība HEC-MW ievades formātā sakrīt ar FrontISTR iekšējo formātu. Izvadot rezultātus, tiek izsaukta pretējā pārveidošana fstr2hecmw_mesh_conv, kas pirms rakstīšanas atjauno HEC-MW mezglu secību, tādēļ lietotājam gan ievadē, gan izvadē jāņem vērā tikai HEC-MW formāts. Tālāk norādītie formas funkciju mezglu numuri atbilst FrontISTR iekšējam formātam pēc pārveidošanas.

Pirmās kārtas elementu formas funkcijas¶

Pirmās kārtas tetraedra (341) formas funkcijas ir pašas tilpuma koordinātas:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Pirmās kārtas trīsstūra prizmas (351) formas funkcijas ir pamatnes trīsstūra lineāro formas funkciju (\(a, \xi, \eta\)) un aksiālā virziena lineāro formas funkciju (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) reizinājumi:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Pirmās kārtas heksaedra (361) formas funkcijas ir trīs asu lineāro formas funkciju tenzoru reizinājums:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Šeit \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) ir mezgla \(\alpha\) dabisko koordinātu vērtības (katra komponente ir \(\pm 1\)).

Otrās kārtas elementu formas funkcijas¶

Otrās kārtas tetraedra (342) formas funkcijas sadalās četros stūra mezglos un sešos malu vidusmezglos:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Vidusmezgli 5–10 attiecīgi atbilst malu 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 un 3-4 viduspunktiem.

Otrās kārtas trīsstūra prizmas (352) formas funkcijas sastāv no sešiem stūra mezgliem, sešiem malu vidusmezgliem uz trīsstūra skaldnēm un trim aksiālo šķautņu vidusmezgliem:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Vidusmezgli 7–9 atbilst pamatnes trīsstūra (\(\zeta = -1\)) malu viduspunktiem, 10–12 — augšējā trīsstūra (\(\zeta = +1\)) malu viduspunktiem, bet 13–15 — aksiālo šķautņu viduspunktiem.

Otrās kārtas heksaedrs (362) ir Serendipity saimes 20 mezglu elements. Mezgla \(\alpha\) dabiskās koordinātas apzīmē ar \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Stūra mezgliem (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), katra komponente ir \(\pm 1\))

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Malu vidusmezgliem (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), viena no trim dabiskajām koordinātām ir \(0\), bet pārējās divas ir \(\pm 1\)) mezgliem ar \(\xi_\alpha = 0\) (mala vērsta pa \(\xi\) asi)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Vidusmezglu formas funkcijas malām, kas vērstas pa \(\eta\) un \(\zeta\) asi, iegūst līdzīgi, atbilstošo dabisko koordinātu izslēdzot ar kvadrātisku locekli.

Saistītās sadaļas¶

Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija — formas funkcijas \(N_\alpha^e\) matemātiskā definīcija
Formas funkciju telpiskie atvasinājumi — formas funkciju atvasinājumi globālajās koordinātās un Jakobiāns
Skaitliskā integrēšana — integrācijas punkti, svari un elementa integrāļa aproksimācija
Uzlabotie elementu formulējumi — B-bar, F-bar, nesaderīgie elementi, apvalki un sijas
Elementu bibliotēka (funkcijas) — mezglu secība un virsmu numuri HEC-MW formātā
Fizikālo lielumu simbolu saraksts