Skaitliskā integrēšana¶

Elementa iekšējo spēku vektori \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) un elementa stinguma matrica \(\boldsymbol{K}^e\), kas iegūti sadaļās Iekšējo spēku virtuālā darba diskretizācija un Ārējo spēku virtuālais darbs un globālā vienādojuma montāža, ir integrāļi pa elementa apgabalu \(\Omega^e\) vai \(\Omega^e_0\). FrontISTR tos skaitliski novērtē, izmantojot Gausa kvadratūru.

Gausa kvadratūra un mainīgo aizstāšana¶

Gausa kvadratūra aproksimē integrāli pa etalonapgabalu \(\Xi\) ar integrējamās funkcijas vērtību integrācijas punktos \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) un svaru \(w_i\) lineāru summu. Piemērojot to elementa apgabalam \(\Omega^e\), tiek veikta mainīgo aizstāšana ar kartējumu \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\):

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

kur \(n_q\) ir integrācijas punktu skaits, bet \(J_{\xi_i}\) — pārveidojuma Jakobiana determinants. Etalonapgabals \(\Xi\) tiek noteikts katram elementa tipam (heksaedram \([-1,1]^3\), trīsstūrim, tetraedram un ķīļveida elementam — attiecīgā etalonforma), bet integrācijas punkti \(\boldsymbol{\xi}_i\) un svari \(w_i\) ir doti skaitliskās tabulās. Virsmas integrāļus apstrādā tādā pašā formā, kartējot elementa virsmu no divdimensiju etalonapgabala.

Turpmāk parādīts FrontISTR izmantotais tipiskais integrācijas punktu skaits (par atbilstību elementu tipiem skatiet Elementu numerācijas sistēma un formas funkciju bibliotēka).

Elementa tips	Kvadratūras formula	Integrācijas punktu skaits
4 mezglu tetraedrs (`tet4n`)	1 punkta formula	1
10 mezglu tetraedrs (`tet10n`)	4 punktu formula	4
6 mezglu trīsstūra prizma (`prism6n`)	2 punktu formula	2
15 mezglu trīsstūra prizma (`prism15n`)	9 punktu formula	9
8 mezglu heksaedrs (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20 mezglu heksaedrs (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4 mezglu četrstūris (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8 mezglu četrstūris (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3 mezglu trīsstūris (`tri3n`)	1 punkta formula	1
6 mezglu trīsstūris (`tri6n`)	3 punktu formula	3

Heksaedra, četrstūra un līnijas elementiem izmanto Gauss-Legendre formulas tenzorreizinājumu katrā ass virzienā. Trīsstūriem, tetraedriem un trīsstūra prizmām izmanto simpleksa tipa ģeometrijai piemērotas specializētas formulas (punktu izvietojumus, kas precīzi integrē polinomus pa pašu trīsstūri).

Piemērošana elementa integrēšanai¶

Elementa integrēšanā par etalonapgabala koordinātām izmanto dabiskās koordinātas \(\boldsymbol{r}\) (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), bet kartējumu uz fizikālajām koordinātām nosaka ar mezglu koordinātu interpolāciju, izmantojot formas funkcijas. Atkarībā no atskaites konfigurācijas izvēles (Pieaugumu analīzes ietvars) izmanto šādas formulācijas.

Total Lagrange metode (integrēšana pa atskaites konfigurāciju \(\Omega^e_0\)): kartējumu un Jakobiana determinantu nosaka kā

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

un elementa iekšējo spēku un stinguma matricu aproksimē kā

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Visus \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) novērtē integrācijas punktā \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrange metode (integrēšana pa pašreizējo konfigurāciju \(\Omega^e\)): kartējumu un Jakobiana determinantu nosaka kā

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

un izmanto aproksimācijas

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Vienīgā atšķirība starp abām formulācijām ir tā, vai kartējumam padotās mezglu koordinātas ir \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) vai \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integrācijas punkti, svari un integrācijas punktu cikla struktūra ir kopīgi.

Pilnā integrēšana un reducētā integrēšana¶

Integrēšanu, kurā izmanto pietiekamu integrācijas punktu skaitu, lai precīzi integrētu integrējamās funkcijas polinoma pakāpi, sauc par pilno integrēšanu, bet integrēšanu ar par vienu līmeni mazāku integrācijas punktu skaitu — par reducēto integrēšanu. Reducēto integrēšanu izmanto bīdes un tilpuma bloķēšanās mazināšanai, taču tai nepieciešama viltus deformācijas modu, piemēram, hourglass modu, apstrāde. Integrācijas punktu skaits katram elementa tipam un pilnās/reducētās integrēšanas izvēle ir aplūkota sadaļā Elementu numerācijas sistēma un formas funkciju bibliotēka un turpmākajās sadaļās, kā arī Augstas veiktspējas elementu formulācijās.

Saistītās tēmas¶

Formas funkciju telpiskie atvasinājumi — Jakobiana aprēķins
Iekšējo spēku virtuālā darba diskretizācija — Skaitliskās integrēšanas objekti
Augstas veiktspējas elementu formulācijas — Reducētās integrēšanas izmantošana