Ārējo spēku virtuālais darbs un globālo vienādojumu montāža¶

Sadaļā Iekšējo spēku virtuālā darba diskretizācija vājās formas kreisā puse tika apkopota elementa iekšējo spēku vektorā \(\boldsymbol{q}^e\) (UL metode) vai \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL metode). Šajā nodaļā no ārējo spēku virtuālā darba ievieš elementa mezglu ārējo spēku vektoru \(\boldsymbol{F}^e\) un, veicot montāžu, kur elementa mezglu fizikālie lielumi tiek pārkārtoti un summēti pēc globālajiem mezglu numuriem, iegūst nelineāro vienādojumu sistēmu attiecībā pret mezglu pārvietojumiem, kas jāatrisina FrontISTR nelineārajā konstrukciju analīzē.

Ārējo spēku virtuālā darba sadalījums pa elementiem¶

Virtuālā darba principa labo pusi var sadalīt pa elementiem kā ārējo spēku virtuālo darbu, ko veido tilpuma spēks (ķermeņa spēks) un uz mehāniskās robežas uzdotais virsmas spēks. Lai Formas funkcijās un galīgo elementu aproksimācijā ieviesto pārvietojuma interpolāciju rakstītu matricas formā, izmanto \(d \times d\) bloku \(\boldsymbol{N}_\alpha\), kurā mezgla \(\alpha\) formas funkcija \(N_\alpha^e\) novietota pa diagonāli, un horizontāli saliktu matricu \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), tā ka \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Ievietojot to ārējo spēku virtuālajā darbā atskaites konfigurācijā, iegūst

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

Šeit elementa mezglu ārējo spēku vektors ir sakārtots kā \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Tādējādi ārējo spēku virtuālais darbs tiek reducēts uz tādu pašu “elementa mezglu vektors × testa funkcija” formu kā iekšējiem spēkiem (pašreizējā konfigurācijā forma ir tā pati, aizstājot \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Elementa mezglu fizikālo lielumu montāža¶

Katram elementam iegūtos mezglu fizikālos lielumus \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) pārkārto un summē globālajos vektoros pēc globālā mezgla numura. Elementa \(\Omega^e\) lokālajam mezgla numuram \(\alpha\) atbilstošo globālā mezgla numuru apzīmē ar

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Tad elementa mezgla fizikālais lielums sakrīt ar atbilstošo globālā mezgla lieluma komponenti (piemēram, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Tā kā mezglu \(i_g\) parasti koplieto vairāki elementi, ievieš kopu ar visiem pāriem \((e, \alpha)\), kuriem globālā mezgla numurs ir \(i_g\):

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Pārrakstot summu kā \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), iegūst mezgla iekšējo spēku un globālo iekšējo spēku vektoru visiem \(n_g\) mezgliem:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) atbilst elementu mezglu iekšējo spēku rezultējošajam spēkam mezglā \(i_g\) un līdzsvara stāvoklī bez ārējas slodzes ir \(\boldsymbol{0}\). Ar tādu pašu procedūru UL metodei iegūst \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\), un skaitliski \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\); tādēļ turpmāk, izņemot vietas, kur atšķirība ir būtiska, izmanto apzīmējumu \(\boldsymbol{Q}\). Ar tādu pašu apkopošanu iegūst arī globālo ārējo spēku vektoru \(\boldsymbol{F}\).

Realizācijā kopu \(\mathcal{E}(i_g)\) tieši neveido; atbilstošās komponentes pieskaita elementu ciklā.

Inicializē globālo iekšējo spēku vektoru Q ar 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (elementu skaits)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Globālo ārējo spēku vektoru \(\boldsymbol{F}\) veido ar tādu pašu procedūru. Šo darbību, kur elementa mezglu fizikālie lielumi tiek pieskaitīti un glabāti vektoros vai matricās, kas numurētas ar globālajiem mezglu numuriem, sauc par montāžu (assemble). Otrās kārtas tenzoriem ar diviem mezglu numuriem (piemēram, stinguma matricām) analogu montāžu iegūst ar kopu \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (konkrēto uzbūvi skatiet sadaļā Pieskares stinguma matrica).

Risināmais nelineārais vienādojums¶

Ievietojot Virtuālā darba principā samontētos iekšējo un ārējo spēku rezultātus un izmantojot to, ka vienādība ir spēkā jebkurai testa funkcijai \(\delta\boldsymbol{u}^n\), kas apmierina ģeometriskos robežnosacījumus, iegūst

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Atjaunojot laika indeksu \(_{n+1}\) pieaugumu analīzes (Pieaugumu analīzes ietvars) kontekstā un izlaižot augšējo indeksu \(^n\), kas apzīmē globālo mezglu vektoru, risināmais vienādojums ir

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Diskretizētais robežvērtību uzdevums mezglu pārvietojuma \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) atrašanai laikā \(t_{n+1}\) tādējādi reducējas uz šī nelineārā vienādojuma risināšanu kopā ar ģeometriskajiem robežnosacījumiem. Vienādojuma linearizācija un pieskares stinguma matricas veidošana aprakstīta sadaļā Pieskares stinguma matrica, bet iteratīvais risinājums — sadaļā Newton-Raphson metode.

Saistītās tēmas¶

Virtuālā darba princips — vājās formas sākumpunkts
Pieaugumu analīzes ietvars — laika indeksi un atskaites konfigurācijas izvēle
Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija — pārvietojuma un testa funkcijas interpolācija un elementa mezglu vektori
Iekšējo spēku virtuālā darba diskretizācija — elementa iekšējo spēku vektoru \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) atvasināšana
Pieskares stinguma matrica — stinguma matricas montāža (tā pati procedūra)
Newton-Raphson metode — nelineārā vienādojuma iteratīvais risinājums
Fizikālo lielumu simbolu saraksts