Iekšējā virtuālā darba diskretizācija¶

Inkrementālās analīzes shēmā dotajam virtuālā darba vienādojumam laikā \(t + \Delta t\) atkarībā no atsauces konfigurācijas izvēles ir divas formas — atjauninātā Lagrāža un pilnā Lagrāža formulējums. Šajā nodaļā izmanto sadaļās Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija un Formas funkciju telpiskie atvasinājumi ieviesto galīgo elementu aproksimāciju, lai telpiski diskretizētu abu formulējumu iekšējo virtuālo darbu un iegūtu elementa iekšējo spēku vektorus \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) un \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Elementam \(e\) pieņemsim, ka to veido mezgli \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), pārvietojumi ir \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), un elementa mezglu pārvietojumu vektoru sakārto kā \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Virtuālo pārvietojumu \(\delta \boldsymbol{u}^e\) definē tādā pašā secībā. Pārvietojumu elementa iekšienē ar formas funkcijām interpolē kā \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Iekšējais virtuālais darbs atjauninātā Lagrāža formulējumā¶

Atjauninātā Lagrāža formulējumā laikā \(t\) par atsauces konfigurāciju izmanto pašreizējo konfigurāciju \({}^{t}\Omega\), un iekšējo virtuālo darbu izsaka ar Košī spriegumu \(\boldsymbol{\sigma}\) un Almansi deformācijas lineāro daļu \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) šādi:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Izmantojot pašreizējās konfigurācijas koordinātas \(\boldsymbol{x}\), katru \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) komponenti var izteikt kā formas funkciju atvasinājumu \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) un mezglu virtuālo pārvietojumu \(\delta u^e_{i\alpha}\) lineāru kombināciju. Voigta pierakstā to var apkopot šādi:

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Mezgla bloku \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) veido, sakārtojot \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) atbilstoši Voigta konvencijai \(6 \times 3\) matricā, un \(\boldsymbol{B}_L\) ir UL formulējuma deformācijas–pārvietojuma matrica. Ievietojot to iekšējā virtuālā darba izteiksmē un iznesot \(\delta \boldsymbol{u}^e\), iegūst:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Vektoram \(\boldsymbol{q}^e\) mezgla bloks \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) ir elementa \(\Omega^e\) iekšējais spēks, kas darbojas uz to veidojošo mezglu \(\alpha\).

Iekšējais virtuālais darbs pilnā Lagrāža formulējumā¶

Pilnā Lagrāža formulējumā par atsauces konfigurāciju izmanto sākotnējo konfigurāciju \(\Omega_0\), un iekšējo virtuālo darbu izsaka ar otro Piolas–Kirhofa spriegumu \(\boldsymbol{S}\) un Grīna–Lagrāža deformāciju \(\boldsymbol{E}\) šādi:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variāciju \(\delta \boldsymbol{E}\) sadala loceklī, kas ir lineārs attiecībā pret virtuālo pārvietojumu, un nelineārā loceklī, kas satur reizinājumus ar pašreizējā pārvietojuma gradientu \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Lineāro locekli var pierakstīt, piemērojot \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) tādu pašu sakārtošanas noteikumu kā UL formulējumā, iegūstot mezgla bloku \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Atšķirīgās atsauces konfigurācijas dēļ mainās tikai veidojošie atvasinājumi — no \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) uz \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); izmanto to pašu simbolu kā UL formulējumā. Nelineārajā loceklī izmanto pašreizējā pārvietojuma gradienta \(\partial u_k/\partial X_j\) un \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) reizinājumus, ko sakārto atbilstoši Voigta konvencijai, veidojot mezgla bloku \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Tādējādi \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), un \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) ir TL formulējuma deformācijas–pārvietojuma matrica. Ievietojot to iekšējā virtuālā darba izteiksmē, iegūst:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Mezgla bloks \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) ir elementa \(\Omega^e_0\) iekšējais spēks, kas darbojas uz to veidojošo mezglu \(\alpha\).

UL/TL atbilstība un aprēķina plūsma¶

Elementa iekšējo spēku vektoru atbilstība atjauninātā Lagrāža un pilnā Lagrāža formulējumā ir šāda.

Vienums	Atjauninātā Lagrāža formulējums	Pilnā Lagrāža formulējums
Atsauces konfigurācija	Pašreizējā konfigurācija \({}^{t}\Omega^e\)	Sākotnējā konfigurācija \(\Omega^e_0\)
Sprieguma tenzors	Košī spriegums \(\boldsymbol{\sigma}\)	Otrais PK spriegums \(\boldsymbol{S}\)
Deformācijas variācija	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B matrica	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Elementa iekšējais spēks	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Abus formulējumus apstrādā ar vienu procedūru: no formas funkciju telpiskajiem atvasinājumiem konstruē \(\boldsymbol{B}_L\); TL formulējumā no pašreizējā pārvietojuma gradienta konstruē un pievieno \(\boldsymbol{B}_{NL}\); atbilstoši konstitutīvajam likumam atjaunina spriegumu (\(\boldsymbol{\sigma}\) vai \(\boldsymbol{S}\)); un integrācijas punktos skaitliski integrē \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) vai \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) pa elementa apgabalu (Skaitliskā integrēšana). Izņemot atsauces konfigurācijas pārslēgšanu (mezglu koordinātas un \(\boldsymbol{B}\) matricas konstruēšana) un sprieguma tenzora aizstāšanu, apstrāde ir kopīga, tādēļ FrontISTR abu formulējumu iekšējo spēku aprēķinus implementē ar kopīgām apakšprogrammām. Elementa iekšējo spēku vektoru \(\boldsymbol{q}^e\) un \(\boldsymbol{Q}^e\) montāža globālajā iekšējo spēku vektorā aplūkota sadaļā Ārējais virtuālais darbs un globālo vienādojumu montāža.

Saistītās tēmas¶

Virtuālā darba princips — Sākuma vienādojums
Inkrementālās analīzes shēma — TL/UL zaru definīcija
Formas funkciju telpiskie atvasinājumi — B matricas komponentes
Ārējais virtuālais darbs un globālo vienādojumu montāža — Līdz globālajam iekšējo spēku vektoram
Tangenciālā stinguma matrica — Linearizācija ar iekšējā spēka laika atvasinājumu
Fizikālo lielumu simbolu saraksts