Formas funkciju telpiskie atvasinājumi¶

Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija ieviestās formas funkcijas \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ir dotas kā elementa lokālo koordinātu — dabisko koordinātu \(\boldsymbol{r}\) — funkcijas. Savukārt vājās formas integrandos, izmantojot deformācijas un pārvietojuma sakarību, parādās daļējie atvasinājumi pēc fizikālajām koordinātām (atskaites konfigurācijas \(\boldsymbol{X}\) vai pašreizējās konfigurācijas \(\boldsymbol{x}\)), proti, \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) vai \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Šajā nodaļā apkopota šo formas funkciju telpisko atvasinājumu aprēķināšana no elementa mezglu koordinātām un atvasinājumiem pēc dabiskajām koordinātām.

Telpisko atvasinājumu izteikšana ar ķēdes likumu¶

Piemērojot ķēdes likumu interpolācijas formulai \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (iepriekšējā nodaļa) un izmantojot kartējuma no dabiskajām uz fizikālajām koordinātām Jakobiana matricu \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\), iegūst

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Šeit \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) un \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ir \(n_e \times 3\) matricas, kurās rinda \(\alpha\) attēlo mezgla \(\alpha\) daļējo atvasinājumu vektoru.

Jakobiana matricas konstruēšana¶

Diferencējot interpolācijas formulu pēc \(\boldsymbol{r}\), iegūst

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Tādējādi Jakobiana matricu var konstruēt tieši no elementa mezglu koordinātām \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) un atvasinājumiem pēc dabiskajām koordinātām \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Atvasinājumus pēc dabiskajām koordinātām nosaka formas funkciju funkcionālā forma, un tie iepriekš tiek realizēti katram elementa tipam.

Jakobiana matricas determinants \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) tiek izmantots skaitliskajā integrēšanā, pārveidojot tilpuma elementu kā \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Ja determinants kļūst par \(0\), elements ir deģenerēts un aprēķins sabrūk.

Aprēķina plūsma¶

No iepriekš minētā izveduma telpisko atvasinājumu \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) aprēķinu var sadalīt šādos četros posmos.

Atvasinājumu pēc dabiskajām koordinātām aprēķins: izmantojot kā ievadi elementa tipu un novērtēšanas punkta dabiskās koordinātas \(\boldsymbol{r}\), aprēķina atvasinājumu matricu \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Tā kā formas funkciju funkcionālā forma atšķiras dažādiem elementu tipiem, apstrāde sazarojas pēc elementa tipa.
Jakobiana matricas aprēķins: no elementa mezglu koordinātām \(\boldsymbol{X}^e\) un \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) pēc iepriekšējās sadaļas formulas konstruē Jakobiana matricu \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\).
Apgrieztās matricas un determinanta aprēķins: aprēķina Jakobiana matricas apgriezto matricu \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) un determinantu. Determinantu izmanto skaitliskās integrēšanas svarā.
Telpisko atvasinājumu aprēķins: telpiskos atvasinājumus \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) iegūst kā \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) un \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) reizinājumu.

Šie četri posmi sazarojas atkarībā no elementa tipa un telpas dimensijas (2D vai 3D), taču kopējā plūsma ir vienāda.

Kopīga apstrāde atskaites un pašreizējai konfigurācijai¶

Iepriekš minēto procedūru var piemērot arī pašreizējās konfigurācijas telpisko atvasinājumu \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) iegūšanai, vienkārši aizstājot \(\boldsymbol{X}^e\) ar pašreizējām mezglu koordinātām \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Tādējādi Total Lagrange un Updated Lagrange formulācijās var izmantot vienu un to pašu procedūru, mainot tikai ievades mezglu koordinātas.

Saistītās tēmas¶

Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija — Formas funkciju un elementa mezglu koordinātu definīcija
Iekšējo spēku virtuālā darba diskretizācija — B matricas konstruēšana no telpiskajiem atvasinājumiem
Skaitliskā integrēšana — Jakobiana determinanta izmantošana Gausa kvadratūrā