Formas funkcijas un galīgo elementu aproksimācija¶

Lai skaitliski apstrādātu virtuālā darba principa vājo formu, ķermeņa apgabalu sadala galīgā skaitā elementu, un materiāla punktu koordinātas, pārvietojumu un testa funkciju katrā elementā interpolē no mezglu vērtībām un formas funkcijām. Formas funkciju telpiskie atvasinājumi aplūkoti sadaļā Formas funkciju telpiskie atvasinājumi, vājās formas diskretizācija — sadaļā Iekšējā virtuālā darba diskretizācija, bet konkrētās formas funkciju izteiksmes katram elementa tipam — sadaļā Elementu numerācijas sistēma un formas funkciju bibliotēka un turpmākajās sadaļās.

Apgabala sadalīšana un integrāļu summas pa elementiem¶

Atsauces konfigurācijas apgabalu \(\Omega_0\) un pašreizējās konfigurācijas apgabalu \(\Omega\) aproksimē attiecīgi ar elementu \(\Omega^e_0\) un \(\Omega^e\) apvienojumiem:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) ir elementa numurs, un blakus esošiem elementiem ir kopīgas robežas.) Tādējādi virtuālā darba principa tilpuma un virsmas integrāļi tiek sadalīti atsevišķu elementu integrāļu summās:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Tas pats attiecas uz pašreizējo konfigurāciju, aizstājot \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) un \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Turpmāk vājās formas novērtēšana reducējas uz integrāļu konstruēšanu pa elementiem.

Interpolācija ar mezglu vērtībām un formas funkcijām (izoparametriskie elementi)¶

Katram elementam \(\Omega^e_0\) piešķir \(n_e\) mezglus. Lai elementa mezgla \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) atsauces konfigurācijas koordinātas un mezgla pārvietojumi būtu \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Elementa mezglu vektorus \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) un \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) izveido, sakārtojot šīs vērtības; elementam \(e\) tie satur tikai elementu veidojošo mezglu komponentes, kas iegūtas no globālajiem mezglu vektoriem \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) ir kopējais mezglu skaits).

Izmantojot dabiskās koordinātas \(\boldsymbol{r}\), kas ir lokālās koordinātas elementā, kā parametrus, formas funkcijas \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolē materiāla koordinātas, pārvietojumu un testa funkciju elementā ar tām pašām formas funkcijām (izoparametrisks elements un Galerkina metode):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Formas funkcijas konstruē tā, lai tās izpildītu šādas divas īpašības, un elementa ģeometriju izvēlas tā, lai attēlojums \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) no dabiskajām koordinātām uz materiāla koordinātām elementa iekšienē būtu viennozīmīgs:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) ir dabisko koordinātu punkts, kas atbilst mezglam \(\alpha\), un \(\delta_{\alpha\beta}\) ir Kronekera delta.) Pirmais vienādojums garantē cieta ķermeņa translācijas reproducēšanu, bet otrais — ka interpolētā vērtība katrā mezglā sakrīt ar mezgla vērtību. Konkrētās \(n_e\) un \(N_\alpha^e\) formas katram elementa tipam dotas sadaļā Elementu numerācijas sistēma un formas funkciju bibliotēka un turpmākajās sadaļās. Lai izvairītos no apgrūtinoša pieraksta, atkarību no elementa tipa attēlo ar elementa augšējo indeksu \(e\).

Izmantojot iepriekš minētos interpolācijas noteikumus, vājās formas integrandu var izteikt tikai ar elementa mezglu vērtībām \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) un \(N_\alpha^e\). Savukārt deformāciju iegūst no interpolētā pārvietojuma un deformācijas–pārvietojuma sakarības, bet spriegumu — no šīs deformācijas un materiāla konstitutīvā likuma; šie lielumi netiek tieši interpolēti no mezglu vērtībām. Tos novērtē integrācijas punktos elementa iekšienē (Skaitliskā integrēšana).

Globālo mezglu vektoru sakārtošanas noteikums¶

Mezgliem piešķirtos fizikālos lielumus globālajā mezglu vektorā sakārto augošā secībā mezgla numurs → brīvības pakāpe. Ja mezglā \(\alpha\) brīvības pakāpes komponenti \(i\) apzīmē ar \(u_{i\alpha}\), tad attiecīgi trīs dimensijās (\(i=1,2,3\)) un divās dimensijās (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinātām \(\boldsymbol{X}^n\) un testa funkcijai \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ir tāda pati secība. Turpmāk matricu un vektoru formas izvedumos kā raksturīgu izmanto trīsdimensiju gadījumu.

Saistītās tēmas¶

Virtuālā darba princips — Diskretizējamā vājā forma
Formas funkciju telpiskie atvasinājumi — Jakobiāna un B matricas sagatavošana
Elementu numerācijas sistēma un formas funkciju bibliotēka — Formas funkcijas katram elementa tipam