Šļūde¶

Šajā nodaļā aplūkots FrontISTR izmantotais šļūdes konstitutīvais likums. Detalizētu informāciju par izvēli un ievades norādīšanu skatiet funkciju sadaļā 03_material.

Šļūdes parādība un deformāciju aditīvā sadalīšana¶

No laika atkarīgu pārvietojumu nemainīga sprieguma apstākļos sauc par „šļūdi”.

Arī iepriekš aplūkoto viskoelastisko uzvedību var uzskatīt par vienu lineāras šļūdes parādības veidu. Šeit aplūkoti vairāki nelineāras šļūdes veidi. Parasti konstitutīvo vienādojumu formulē, šo parādību pieskaitot momentāni radušajai deformācijai, bet deformāciju, kas uzkrājas, kamēr turpinās noteikta nemainīga slodze, sauc par šļūdes deformāciju \(\varepsilon^c\). Konstitutīvajā sakarībā, kurā ņemta vērā šļūde, parasti izmanto šļūdes deformācijas ātrumu \(\dot{\varepsilon}^c\), ko definē kā sprieguma un kopējās šļūdes deformācijas funkciju.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Ja momentāni radusies deformācija ir elastīgā deformācija \(\varepsilon^e\), kopējo deformāciju var izteikt kā šādu summu, ietverot šļūdes deformāciju.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

kur

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) ir elastības koeficientu tensors).

Nortona likums¶

Kā konkrētu šļūdes konstitutīvo likumu FrontISTR izmanto šādu Nortona modeli. Šajā konstitutīvajā sakarībā ekvivalentais šļūdes deformācijas ātrums \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) tiek izteikts kā Mises sprieguma \(q\) un laika \(t\) funkcija:

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Šeit \(A\), \(m\) un \(n\) ir materiāla konstantes.

Integrēšana laikā un sprieguma atjaunināšana¶

Tāpat kā plastiskiem materiāliem, konstitutīvajam likumam, kas raksturo šļūdi, skaitliskajā analīzē jānorāda integrēšanas metode laikā. Ja tiek ņemta vērā šļūde, konstitutīvā sakarība ir

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

kur \(\beta_{n+\theta}\) ir

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Turklāt šļūdes deformācijas pieaugumu \(\Delta \varepsilon^c\) nosaka ar vienkāršotu nelineāru vienādojumu

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

Newton-Raphson metodes iterācijā, par sākumvērtību pieņemot \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) un izmantojot no galīgo elementu metodes iegūto deformācijas pieaugumu, iteratīvo risinājumu un pieauguma risinājumu izsaka šādi:

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

kur

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

. Atkārtojot iteratīvo risināšanu, līdz atlikums \(R\) kļūst par \(\mathbf{0}\), izmanto spriegumu \(\sigma_{n+1}\) un tangenciālo koeficientu

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Saistītās tēmas¶

Viskoelastība — Viskoelastiska uzvedība, kas atbilst lineārai šļūdei
Tangenciālā stinguma matrica — Tangenciālais stingums pieaugumu analīzē, kurā ietverta šļūde
Materiālu dati (funkcijas) — Nortona modeļa parametru norādīšana