Elastoplastiskums¶

Šajā nodaļā aprakstīta FrontISTR izmantotā elastoplastiskā konstitutīvā likuma pamatstruktūra. Informāciju par izvēli un ievades specifikācijām skatiet funkciju sadaļas 03_material.

Parādība (plastiskā deformācija)¶

TBD (tiks uzrakstīts nākamajā posmā).

Konstitutīvā likuma pamatstruktūra¶

FrontISTR izmanto elastoplastisku konstitutīvo vienādojumu, kura pamatā ir asociētais plūšanas likums. Konstitutīvais vienādojums izsaka sakarību starp Kirhofa sprieguma Jaumana atvasinājumu un deformācijas ātruma tenzoru, bet deformāciju analīzē tiek izmantots atjauninātais Lagranža formulējums.

Pieņemsim, ka elastoplastiska materiāla plūšanas nosacījums ir dots šādi.

Sākotnējais plūšanas nosacījums:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Turpmākais plūšanas nosacījums:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

kur

\(F\): plūšanas funkcija
\(\sigma_{y_0}\): sākotnējais plūšanas spriegums
\(\sigma_y\): turpmākais plūšanas spriegums
\(\sigma\): sprieguma tenzors
\(e\): infinitesimālās deformācijas tenzors
\(e^p\): plastiskās deformācijas tenzors
\(\overline{e}^p\): ekvivalentā plastiskā deformācija

Tiek pieņemts, ka plūšanas sprieguma un ekvivalentās plastiskās deformācijas sakarība sakrīt ar sprieguma un plastiskās deformācijas sakarību vienass spriegumstāvoklī.

Sprieguma–plastiskās deformācijas sakarība vienass spriegumstāvoklī

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

kur \(H'\) ir deformācijas nostiprināšanās modulis.

Ekvivalentā sprieguma–ekvivalentās plastiskās deformācijas sakarība

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Vispārīgā gadījumā turpmākā plūšanas funkcija ir temperatūras un plastiskās deformācijas darba funkcija, bet vienkāršības labad šeit tiek pieņemts, ka tā ir tikai ekvivalentās plastiskās deformācijas \(\overline{e}^p\) funkcija. Plastiskajai deformācijai attīstoties, nosacījumam \(F = 0\) jāturpina izpildīties, tādēļ jāizpildās šādam vienādojumam.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Šeit \(\dot{F}\) apzīmē \(F\) atvasinājumu pēc laika. Turpmāk lieluma \(A\) atvasinājums pēc laika tiek apzīmēts ar \(\dot{A}\).

Pieņemsim, ka eksistē plastiskais potenciāls \(\Theta\), un plastiskās deformācijas ātrumu izsakām ar šādu vienādojumu.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Šeit \(\dot{\lambda}\) ir koeficients.

Turklāt, pieņemot, ka plastiskais potenciāls \(\Theta\) ir vienāds ar plūšanas funkciju \(F\), tiek izmantots šāds asociētais plūšanas likums.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Ievietojot šo vienādojumu saskaņotības nosacījumā, iegūst šādu vienādojumu.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Šeit \(D\) ir elastības matrica, un

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastisko sprieguma–deformācijas sakarību var uzrakstīt šādi.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Kad elastoplastiskā materiāla plūšanas funkcija \(F\) ir zināma, no šīs izteiksmes iegūst tā konstitutīvo vienādojumu.

Plūšanas funkcijas¶

FrontISTR izmantotās elastoplastiskās plūšanas funkcijas ir uzskaitītas tālāk.

Fon Mīzesa plūšanas funkcija¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Šeit \(J_2\) ir deviatoriskā sprieguma tenzora otrais invariants.

Mora–Kulona plūšanas funkcija¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Šeit \(\sigma_1, \sigma_3\) ir attiecīgi maksimālais un minimālais galvenais spriegums, \(c\) ir kohēzija, bet \(\phi\) ir iekšējās berzes leņķis.

Drukera–Prāgera plūšanas funkcija¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Šeit materiāla konstantes \(\alpha\) un \(\sigma_y\) tiek aprēķinātas no materiāla kohēzijas un berzes leņķa šādi.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Saistītās tēmas¶

Lineārā elastība — elastiskā reakcija (elastoplastiskuma elastiskā daļa)
Tangenciālā stinguma matrica — tangenciālais stingums inkrementālai analīzei, ietverot materiāla nelinearitāti
Materiāla dati (funkcijas) — plūšanas funkciju un nostiprināšanās likumu opcijas un izvēle