Lineārā elastība¶

Šajā nodaļā aplūkots lineāri elastīgu materiālu konstitutīvais likums (Hooke likums). Informāciju par modeļa izvēli un ievades norādēm skatiet funkciju sadaļā 03_material.

Parādība (lineāri elastīga reakcija)¶

Lineāri elastīgs ķermenis ir materiāls, kas diapazonā, kur slodzes izraisītā deformācija ir pietiekami maza, uzrāda lineāru sakarību starp spriegumu un deformāciju un atgriezenisku, no vēstures neatkarīgu reakciju: pēc atslogošanas visa deformācija izzūd un ķermenis atgriežas sākotnējā stāvoklī. Atšķirībā no plastiskuma vai šļūdes tam nav stāvokli raksturojošu iekšējo mainīgo (piemēram, plastiskās vai viskozās deformācijas), un spriegumu viennozīmīgi nosaka tikai pašreizējā deformācija.

Mazu deformāciju diapazonā izmanto Cauchy spriegumu \(\boldsymbol{\sigma}\) un bezgalīgi mazo deformāciju \(\boldsymbol{\varepsilon}\); galīgu deformāciju diapazonā (problēmām ar lielām rotācijām, bet mazu pašu deformāciju) izmanto otro Piola-Kirchhoff spriegumu \(\boldsymbol{S}\) un Green-Lagrange deformāciju \(\boldsymbol{E}\) (St.Venant-Kirchhoff materiāls).

Konstitutīvais likums¶

Izotrops lineāri elastīgs materiāls¶

Mazu deformāciju diapazonā izotropo Hooke likumu, izmantojot Lamé konstantes \(\lambda, \mu\), izsaka šādi:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Komponenšu formā

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

un, veicot dubulto kontrakciju ar deformāciju, iegūst \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamé konstantes ar Young moduli \(E\) un Poisson koeficientu \(\nu\) saista šādas sakarības:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt pierakstā sakarību starp deformācijas vektoru \(\hat{\varepsilon}\) un sprieguma vektoru \(\hat{\sigma}\) raksta kā \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), un trīsdimensiju materiāla matrica \(D\) ir

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Šis matricas pieraksts tiek izmantots realizācijā.

Ortotrops lineāri elastīgs materiāls¶

Materiāliem, kuru elastības konstantes galveno asu virzienos atšķiras, izmanto ortotropu modeli ar deviņām neatkarīgām konstantēm: Young moduļiem galveno asu virzienos \(E_1, E_2, E_3\), Poisson koeficientiem starp galvenajām asīm \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) un bīdes moduļiem \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Matricas \(D\) izvērsto formu skatiet standarta atsauces literatūrā.

Galīgu deformāciju diapazons: St.Venant-Kirchhoff materiāls¶

Problēmām ar lielām rotācijām, bet mazu pašu deformāciju St.Venant-Kirchhoff materiālu izmanto kā lineāri elastīgu likumu, kas saista otro Piola-Kirchhoff spriegumu \(\boldsymbol{S}\) un Green-Lagrange deformāciju \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé konstantēm \(\lambda, \mu\) ir tās pašas definīcijas kā mazu deformāciju gadījumā. Tomēr jāņem vērā, ka sprieguma un deformācijas pāra definīcijas atšķiras, tādēļ tas ir cits konstitutīvais likums nekā Hooke likums mazu deformāciju gadījumam.

Hipoelastīgs materiāls¶

Updated Lagrange metodē izmanto hipoelastīgu materiālu, kuram lineāri elastīgais likums tiek pieņemts starp relatīvā Kirchhoff sprieguma tenzora Jaumann atvasinājumu \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) un deformācijas ātruma tenzoru \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Arī šeit \(\boldsymbol{C}\) definīcija ar Lamé konstantēm ir tāda pati kā iepriekš, taču, tā kā sprieguma un deformācijas pāris atšķiras, tas ir cits konstitutīvais likums. Sīkāku informāciju par \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) atjaunināšanu laika integrēšanas procedūrā (uz priekšu vērstā Euler integrēšana un centrālās diferences aproksimācija) skatiet tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reducēšana divdimensiju analīzei un čaulas elementiem¶

Plaknes sprieguma stāvoklis (\(\sigma_{33} = 0\))¶

Plaknes sprieguma stāvoklim, kas raksturo plānu plātņu un čaulu slodzi, pieņem \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) un izmanto matricu \(D\), kur ārpusplaknes deformācijas komponente \(\varepsilon_{33}\) ir algebriski eliminēta:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Plaknes deformācijas stāvoklis (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

Plaknes deformācijas stāvoklim, kas raksturo biezuma virzienā ierobežotas garas konstrukcijas šķērsgriezumu, pieņem \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Asimetrisks ap rotācijas asi¶

Aksiāli simetriskā analīzē, kur aplūko cilindriskajās koordinātās \((r, \theta, z)\) virzienā \(\theta\) nemainīgas problēmas, saglabā četras komponentes \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) un \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), un

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

iegūst.

Čaulas elementi (plaknes sprieguma stāvoklis + šķērsbīde)¶

Čaulas elementiem plaknes spriegumus apstrādā kā plaknes sprieguma stāvokli, bet šķērsbīdes deformācijas komponentēm \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) izmanto \(\kappa\, G\) ar bīdes korekcijas koeficientu \(\kappa\) (parasti \(\kappa = 5/6\)). Katra elementa detalizētu formulējumu skatiet sadaļā Uzlaboti elementu formulējumi. Funkciju sadaļas 03_material norāde, ka "čaulas elementi atbalsta tikai lineāro elastību", izriet no šīs vienkāršošanas, kur plaknes stāvoklis tiek aplūkots kā plaknes sprieguma stāvoklis.

Atkarība no temperatūras¶

Young moduli \(E\), Poisson koeficientu \(\nu\) un lineārās izplešanās koeficientu \(\alpha\) parasti norāda kā temperatūras \(T\) funkcijas. FrontISTR vērtības ievada galīgai temperatūras punktu virknei \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), un aprēķina temperatūrā \(T\) vērtību nosaka ar lineāru interpolāciju starp blakuspunktiem. Temperatūrām ārpus diapazona (\(T < T_1\) vai \(T > T_n\)) ekstrapolācijai izmanto tuvākā gala punkta \(T_1\) vai \(T_n\) vērtību (konstanta ekstrapolācija).

Termisko un siltumvadīšanas īpašību (blīvuma, īpatnējās siltumietilpības un siltumvadītspējas) atkarību no temperatūras skatiet sadaļā Termiskās īpašības. Interpolācijas noteikumi šīm īpašībām ir kopīgi.

Saistītās tēmas¶

Tenzoru pieraksts un matemātiskie pamati — Voigt pieraksta konvencijas un materiāla matricas \(D\) loma
Kustība, deformācija un deformācijas mērs — Deformācijas gradienta un deformācijas tenzora vispārīga aplūkošana
Hiperelastība — Paplašinājums atgriezeniskai reakcijai, ietverot lielu deformāciju
Elastoplastiskums — Hipoelastīgi un plastiski modeļi, ietverot plastisko deformāciju
Termiskās īpašības — Īpašības, ko izmanto siltumvadīšanas un termisko spriegumu sasaistē
Materiālu dati (funkcijas) — Modeļu varianti un izvēle