Pāriet uz saturu

Lineārā elastīgā statiskā analīze (ievads)

Šeit sniegts elastīgas statiskas analīzes formulējums, kas balstīts uz mazu deformāciju teoriju. Sprieguma un deformācijas sakarībai pieņem lineāru elastību. Šī nodaļa ir ievads, kas paredzēts, lai izprastu strukturālās analīzes ar galīgo elementu metodi kopainu, un ir veidota kā patstāvīgi lasāma nodaļa.

Virtuālā darba principa vispārīgo teoriju (pašreizējā konfigurācija, sākuma konfigurācija un pāreja uz mazām deformācijām) skatiet sadaļā Virtuālā darba princips, lineārās elastības konstitutīvā likuma detaļas — Lineārā elastība, tenzoru un Voigt pieraksta konvencijas — Tenzoru pieraksts un matemātiskie pamati, galīgo deformāciju vispārīgo formulējumu — Kustība, deformācija un deformācijas mērs, bet nelineāru problēmu risināšanu — Tangenciālā stinguma matrica.

Pamatvienādojumi

Cietvielu mehānikas robežvērtību problēma mazu deformāciju un lineāras elastības pieņēmumos sastāv no līdzsvara vienādojuma, mehāniskajiem robežnosacījumiem un ģeometriskajiem (būtiskajiem) robežnosacījumiem (skat. 2.1.1. attēlu):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Šeit \(\boldsymbol{\sigma}\) ir Cauchy spriegums, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) ir tilpuma spēks uz tilpuma vienību, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) ir uzdots virsmas spēks, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) ir uzdots pārvietojums, bet \(S_t, S_u\) ir attiecīgi mehāniskā un ģeometriskā robeža.

Robežvērtību problēma cietvielu mehānikā (mazu deformāciju problēma)

2.1.1. attēls Robežvērtību problēma cietvielu mehānikā (mazu deformāciju problēma)

Deformācijas un pārvietojuma sakarību, izmantojot simetrisko gradienta operatoru, raksta

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Lineārās elastības konstitutīvais vienādojums ir

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

kur \(\boldsymbol{C}\) ir ceturtās kārtas elastības tenzors.

Virtuālā darba princips

Virtuālā darba principa vispārīgā forma (pašreizējās konfigurācijas pieraksts, sākuma konfigurācijas pieraksts un pāreja uz mazām deformācijām) ir apkopota sadaļā Virtuālā darba princips. Mazu deformāciju un lineāras elastības pieņēmumos vājā forma ir

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Ievietojot konstitutīvo vienādojumu \eqref{eq:2.1.5} un Voigt pierakstā rakstot \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), iegūst formu, ko tieši izmanto diskretizācijā,

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

kur \(D\) ir lineārās elastības elastības matrica. Vienādojumi \eqref{eq:2.1.10} un \eqref{eq:2.1.7} ir virtuālā darba princips, kas turpmāk tiek diskretizēts.

Diskretizācija un globālā vienādojuma montāža

Diskretizējot virtuālā darba principa vienādojumu \( \eqref{eq:2.1.10} \) katram galīgajam elementam, iegūst

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Katram elementam pārvietojumu lauku interpolē ar elementu veidojošo mezglu pārvietojumiem šādi.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Tad deformāciju, izmantojot vienādojumu \(\eqref{eq:2.1.4}\), iegūst šādi.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Ievietojot vienādojumus \(\eqref{eq:2.1.12}\) un \(\eqref{eq:2.1.13}\) vienādojumā \(\eqref{eq:2.1.11}\), iegūst

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Vienādojumu \(\eqref{eq:2.1.14}\) var apkopot šādā formā.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

kur Ar vienādojumiem \(\eqref{eq:2.1.16}\) un \(\eqref{eq:2.1.17}\) definēto matricu un vektoru komponentes var aprēķināt katram galīgajam elementam un pēc tam samontēt.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Tā kā vienādojums \(\eqref{eq:2.1.15}\) ir spēkā jebkuram virtuālajam pārvietojumam \(\delta \boldsymbol{U}\), iegūst

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Savukārt pārvietojuma robežnosacījumu \(\eqref{eq:2.1.3}\) izsaka šādi.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Atrisinot vienādojumu \(\eqref{eq:2.1.18}\) pie ierobežojumu nosacījuma \(\eqref{eq:2.1.19}\), var noteikt mezglu pārvietojumus \(\boldsymbol{U}\).

Saistītās sadaļas

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status