Nelineārās iterācijas un laika integrēšana¶

FrontISTR virza risinājumu uz priekšu, katra soļa pieauguma vadības ietvaros katrā apakšsolī kombinējot nelineārās iterācijas un laika integrēšanu. Šajā lapā aprakstītas iteratīvās struktūras starp ārējo soļu vadību un iekšējo lineāro risinātāju: Newton-Raphson iterācijas, kontakta iterācijas, laika integrēšana dinamiskajā analīzē un laika virzības un nelineāro iterāciju ietvars nestacionārā siltumvadīšanā.

Pārskats¶

Nelineārajam risinājumam un laika integrēšanai soļa ietvaros ir ligzdota struktūra ar vairākām cilpām no ārējās uz iekšējo. Katras kārtas uzdevums ir šāds.

Tas, kuri no šiem slāņiem tiek izmantoti, ir atkarīgs no analīzes veida.

Kontakta tipa un paša algoritma izvēli skatiet sadaļā Kontakts un iegulšana. Šajā lapā aprakstīts, kā izvēlētais algoritms ir organizēts iterāciju cilpā.

Risināšanas shēmas izvēle¶

Iterāciju struktūru automātiski nosaka izvēlētais analīzes veids (Analīzes veidi), nelinearitātes esamība (ģeometriskā nelinearitāte, materiāla nelinearitāte vai kontakts) un kontakta algoritms (SLAGRANGE vai ALAGRANGE). Lietotājs tieši pielāgo iterāciju skaita augšējās robežas un konverģences kritērijus.

Pielāgojot šos iestatījumus, izmantojiet šādas vadlīnijas.

• Standarta analīzēm parasti pietiek ar noklusējuma iterāciju skaita augšējo robežu. Ja grūti konverģējoša problēma sasniedz maksimālo iterāciju skaitu bez konverģences, vispirms izmantojiet cutback (Soļu vadība); augšējo robežu palieliniet tikai tad, ja tas neuzlabo konverģenci.
• Konverģences kritērijus pielāgojiet, līdzsvarojot analīzes stabilitāti un aprēķina laiku. Stingrāki kritēriji uzlabo līdzsvara precizitāti, bet palielina iterāciju skaitu. Kontakta analīzēs un analīzēs ar Lagrange reizinātājiem stabilitāti var uzlabot, atlikuma kritēriju kombinējot ar pārvietojuma pieauguma vai Lagrange kritērijiem.
• Dinamiskās analīzes laika integrēšanas parametriem (Newmark-β koeficientiem) sāciet ar standarta vērtību kombināciju un pielāgojiet tos, ja jāmaina svārstību atbildes skaitliskās slāpēšanas raksturlielumi.
• Nestacionārās siltumvadīšanas laika integrēšanas shēmai izmantojiet Crank-Nicolson metodi problēmām ar vienmērīgām temperatūras izmaiņām, bet atpakaļvērsto Euler metodi, ja svarīgākas ir straujas izmaiņas vai ilgtermiņa stabilitāte.

Newton-Raphson iterācija statiskajā analīzē¶

Nelineārajā statiskajā analīzē līdzsvara vienādojumus ar ģeometrisku vai materiāla nelinearitāti iteratīvi risina ar Newton-Raphson metodi. Katra iterācija notiek šādi.

1. Pašreizējam risinājumam novērtē atlikuma vektoru \(\boldsymbol{R}\).
2. Samontē tangenciālo stinguma matricu \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Atrisina lineāro sistēmu \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\), lai iegūtu pārvietojuma korekciju \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Atjaunina risinājumu: \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Salīdzina ar konverģences kritērijiem. Ja konverģence sasniegta, iterāciju beidz; pretējā gadījumā atgriežas pie 1. soļa.

Lineārais risinātājs veic lineārās sistēmas atrisināšanu (3. darbība). Risinātāja un priekšnosacītāja izvēli skatiet sadaļā Risinātājs un priekšnosacīšana.

Iterāciju vada ar !STEP soļu vadības parametriem. Galvenās vadības vērtības ir šādas.

Maksimālais Newton iterāciju skaits, uz kuru atsaucas automātiskā pieauguma un cutback lēmumi sadaļā Soļu vadība, nozīmē šajā lapā aprakstīto Newton iterāciju skaitu. Automātiskā pieauguma vadība palielina laika pieaugumu pēc apakšsoļa, kas konverģējis ar nelielu iterāciju skaitu, un samazina to pēc apakšsoļa, kam bijis vajadzīgs liels iterāciju skaits.

Kontakta iterācija statiskajā analīzē¶

Kontakta analīzē kontakta stāvoklis iterācijas laikā mainās kontakta, atdalīšanās un slīdēšanas dēļ kontakta virsmās, tādēļ Newton iterācija tiek kombinēta ar kontakta stāvokļa atjaunināšanu. Struktūra ir atkarīga no kontakta risināšanas algoritma.

Abos algoritmos ārējā līmenī atrodas kontakta stāvokļa meklēšanas cilpa. Katrā šīs cilpas gaitā pēc iekšējās Newton iterācijas konverģences kontakta stāvokli (kontakts/atdalīšanās) novērtē no jauna. Ja stāvoklis ir mainījies, stinguma matricas struktūra tiek atjaunināta un iekšējā iterācija tiek palaista atkārtoti. Cilpa beidzas, ja kontakta stāvoklis nav mainījies kopš iepriekšējās gaitas un ir izpildīti kontakta konverģences kritēriji (kontakta spēka un Lagrange reizinātāja kritēriji). Gaitu skaita augšējo robežu nosaka !STEP parametrs MAXCONTITER.

SLAGRANGE kontaktam kontakta brīvības pakāpes iekļauj lineārajā sistēmā ar standarta Lagrange reizinātāju metodi, iegūstot divslāņu struktūru, kur Newton iterācija atrodas tieši kontakta stāvokļa meklēšanas cilpas iekšienē. Paplašinātā Lagrange iterācija netiek izmantota.

ALAGRANGE kontaktam kontakta stāvokļa meklēšanas cilpas iekšienē pievieno paplašināto Lagrange iterāciju, un Newton iterācija tiek veikta tās iekšienē, tādējādi iegūstot trīsslāņu struktūru. Katrā paplašinātā Lagrange iterācijā kontakta ierobežojumu novērtē no jauna, kombinējot soda locekli un Lagrange reizinātāju, pakāpeniski uzlabojot ierobežojuma precizitāti. Paplašināto Lagrange iterāciju skaita augšējo robežu nosaka !CONTACT_ALGO parametrs AUGITER.

Kontakta iterāciju vadības vērtības ir šādas.

Kontakta iterāciju skaits, uz kuru atsaucas automātiskā pieauguma lēmumi sadaļā Soļu vadība, nozīmē šajā lapā aprakstīto iterāciju skaitu, ieskaitot kontakta stāvokļa atjaunināšanu. Analīzēm, kurās bieži notiek kontakts un atdalīšanās, parasti vajag vairāk kontakta iterāciju, un tas ietekmē arī automātiskā pieauguma un cutback lēmumus. Kontakta tipus, pāru definīcijas un algoritma izvēli skatiet sadaļā Kontakts un iegulšana. Lineārās sistēmas ar kontakta brīvības pakāpēm atrisināšanu skatiet sadaļā Risinātājs un priekšnosacīšana.

Laika integrēšana dinamiskajā analīzē (implicītā metode)¶

Dinamiskās analīzes implicītajā metodē izmanto Newmark-β metodi, lai katrā laika solī sasaistītu pārvietojumu, ātrumu un paātrinājumu nākamajā laikā un kopā ar kustības vienādojumu iegūtu stāvokli laikā \(t + \Delta t\). Laika soļa \(\Delta t\) stabilitātes ierobežojums ir neliels, tādēļ konstrukciju atbildi, kur dominē zemu frekvenču komponentes, var aprēķināt efektīvi.

Izmanto šādus divus laika integrēšanas parametrus.

Kombināciju \(\beta = 1/4\) un \(\gamma = 1/2\) sauc par vidējā paātrinājuma metodi; tā ir standarta izvēle, kas ir beznosacījumu stabila un nerada skaitlisko slāpēšanu. Lai ieviestu skaitlisko slāpēšanu, izvēlieties \(\gamma\) lielāku par \(1/2\). Parametru kombināciju, stabilitātes un kļūdu raksturlielumu matemātiskās detaļas skatiet teorijas rokasgrāmatā.

Ja ir iekļauta nelinearitāte (ģeometriskā, materiāla vai kontakta nelinearitāte), katrā laika solī tiek veikta Newton iterācija; iterācijas iekšienē atrisina lineāro sistēmu un atjaunina stāvokli. Konverģences kritērijiem izmanto CONVERG un saistītās vērtības, kas kopīgas ar statisko analīzi. Dinamiskajā analīzē ar kontaktu katrā laika solī iekļauj tādu pašu iterāciju struktūru kā sadaļā Kontakta iterācija statiskajā analīzē.

Dinamiskās analīzes laika soli galvenokārt vada ar !STEP laika nosacījumiem. Fiksētu pieaugumu gadījumā !STEP norāda DTIME kā laika soli un ETIME kā soļa ilgumu. !DYNAMIC vērtības n_step un t_delta tiek izmantotas kā noklusējumi, ja !STEP nav norādīts, un atpakaļsaderībai. Nelineārajā implicītajā metodē !STEP ar INC_TYPE=AUTO iespējo automātiskos pieaugumus un cutback, palielinot vai samazinot laika soli atbilstoši Newton un kontakta iterāciju stāvoklim. Neatkarīgi no tā, vai izmanto fiksētus vai automātiskus pieaugumus, laika soli iestatiet, ņemot vērā gan konverģenci, gan nepieciešamo precizitāti.

Laika integrēšana dinamiskajā analīzē (eksplicītā metode)¶

Dinamiskās analīzes eksplicītajā metodē izmanto centrālo diferenču metodi, lai nākamā laika stāvokli tieši aprēķinātu tikai no iepriekšējā laika pārvietojuma, ātruma un paātrinājuma informācijas. Tā kā vienlaicīgu vienādojumu sistēma nav jārisina, aprēķina izmaksas vienam solim ir mazas. Pat ar nelinearitāti katrs laika solis ir vienpakāpes atjauninājums bez Newton iterācijas.

Laika solim ir augšējā robeža, ko nosaka stabilitātes nosacījums, kas balstīts uz sistēmas minimālo pašsvārstību periodu (CFL nosacījums). Laika solis, kas pārsniedz šo robežu, izraisa skaitliskā risinājuma diverģenci, tādēļ nevar izmantot tik lielus laika soļus kā implicītajā metodē. Eksplicītā metode ir izdevīga tādām parādībām kā trieciens, viļņu izplatīšanās un ātrgaitas kontakts, kur mazi laika soļi ir nepieciešami pēc būtības.

Ja ir iekļauts kontakts, kontakta ierobežojumu uzspiešanai izmanto Forward Increment Lagrange metodi. Kontakta spēkus novērtē atbilstoši eksplicītās metodes vienpakāpes atjauninājumam.

Frekvenču atbildes analīzes risināšanas metode¶

Frekvenču atbildes analīzē periodisko stacionāro atbildi frekvenču apgabalā iegūst tieši ar modu superpozīcijas metodi. Atbildi novērtē, mainot ierosmes frekvenci, un nav jāizseko laika vēsture iterācijās. Netiek veiktas ne nelineāras iterācijas, ne laika integrēšana.

Pirms frekvenču atbildes analīzes tai pašai sistēmai jāveic modālā analīze un jāiegūst nepieciešamais dabisko modu skaits. Tiek atbalstīti tikai lineāri modeļi; analīzi nevar veikt, ja ir iespējota ģeometriskā vai materiāla nelinearitāte. Šī analīzes veida pozicionējumu skatiet sadaļā Analīzes veidi.

Laika virzība un nelineārā iterācija nestacionārā siltumvadīšanā¶

Nestacionārajai siltumvadīšanai ir sava laika cilpa, kas pilnībā tiek vadīta ar !HEAT. Laika soli vada pa ceļu, kas ir atsevišķs no konstrukciju analīzes !STEP un !AUTOINC_PARAM; ja materiāla īpašības ir atkarīgas no temperatūras, katrā laika solī veic nelineāru iterāciju.

Laika integrēšanas shēmu izvēlas ar !HEAT parametru \(\beta\).

Laika soli adaptīvi vada, kombinējot sākotnējo laika soli, minimālo laika soli un maksimālo temperatūras izmaiņu vienā solī. Ja pēc aprēķina laika solī temperatūras izmaiņa pārsniedz DELTMX, laika soli samazina un soli aprēķina atkārtoti. Analīze tiek pārtraukta, ja laika solis kļūst mazāks par minimālo laika soli DTMIN.

Ja materiāla īpašības ir atkarīgas no temperatūras, katrā laika solī veic nelineāru iterāciju. Iterāciju vada šādi.

Stacionārajā siltumvadīšanā laika soļošanu neizmanto; nelineāru iterāciju veic tikai tad, ja materiāla īpašības ir atkarīgas no temperatūras. Tā kā siltumvadīšanas analīzes laika vadība ir neatkarīga no konstrukciju analīzes !STEP, pielāgojot laika soli, pārbaudiet !HEAT iestatījumus.

Saistītās tēmas¶

• Analīzes veidi — Katra analīzes veida pozicionējums.
• Kontakts un iegulšana — Kontakta tipu, pāru definīciju un risināšanas algoritmu izvēle.
• Risinātājs un priekšnosacīšana — Newton iterācijā izsaukto lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana.
• Soļu vadība — Ārējā soļu/apakšsoļu vadība un automātiskie pieaugumi/cutback.
• Newton-Raphson metode (teorija) — Iteratīvās risināšanas metodes formulējums.
• Konverģences kritēriji (teorija) — Konverģences indikatoru matemātiskās definīcijas.
• Dinamiskās analīzes metodes (teorija) — Newmark-β un centrālo diferenču metožu formulējums.
• Nestacionārā siltumvadīšanas analīze (teorija) — Siltumvadīšanas laika integrēšanas formulējums.
• Kontakta analīze (teorija) — Lagrange reizinātāju metodes formulējums.
• Atslēgvārdu atsauces: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.