Pereiti prie turinio

Nestacionarioji šilumos laidumo analizė

Šiame skyriuje pateikiamas kietųjų kūnų šilumos laidumo analizės diskretizavimas laiko atžvilgiu ir iteracinis sprendimo metodas, taikant baigtinių elementų metodą (FEM). Kontinuumo valdančiąsias lygtis ir kraštines sąlygas žr. Šilumos laidumo lygtis.

Diskretizuota lygtis (pradinis taškas)

Diskretizavus šilumos laidumo lygtį (šilumos laidumo lygtis (gov_he_main)) Galerkin metodu gaunama

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

čia

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Čia \(K\), \(M\), \(F\) ir \(N\) yra atitinkamai šilumos laidumo matrica (įskaitant konvekcijos ir spinduliavimo kraštines dedamąsias), masės matrica, šiluminės apkrovos vektorius ir formos funkcijų matrica. Medžiagos savybių simbolių (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) ir kt.) apibrėžimai pateikti Šilumos laidumo lygtis.

Diskretizavimas laiko atžvilgiu ir iteracinis sprendimas

Lygtis \(\eqref{eq:2.4.8}\) yra netiesinė ir nestacionarioji. Taikant atgalinį Euler metodą diskretizavimui laiko atžvilgiu, kai temperatūra laiku \(t=t_0\) žinoma, temperatūra laiku \(t=t_0+\Delta t\) apskaičiuojama pagal šią lygtį.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Toliau gerinamas temperatūros vektorius, kuris apytiksliai tenkina čia pateiktą lygtį \(\eqref{eq:2.4.13}\), \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), siekiant gauti tikslesnį sprendinį \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Tam pirmiausia temperatūros vektorius išreiškiamas taip.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Šilumos laidumo matricos ir temperatūros vektoriaus sandauga, masės matrica ir susiję nariai apytiksliai išreiškiami taip.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Įstačius lygtis \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) ir \(\eqref{eq:2.4.16}\) į lygtį \(\eqref{eq:2.4.13}\) ir atmetus antrosios bei aukštesnių eilių narius, gaunama ši lygtis.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Kairiosios pusės koeficientų matrica toliau apytiksliai įvertinama pagal šią lygtį.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Čia \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) yra liestinė standumo matrica.

Taigi temperatūrą laiku \(t=t_0+\Delta t\) galima apskaičiuoti atliekant iteracinius skaičiavimus pagal šią lygtį.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Stacionariosios analizės atveju iteraciniai skaičiavimai atliekami pagal šią lygtį.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Nestacionariojoje analizėje, kadangi diskretizavimui laiko atžvilgiu taikomas implicitinis metodas, laiko prieaugio \(\Delta t\) pasirinkimas paprastai nėra ribojamas jo dydžiu. Tačiau jei laiko prieaugis \(\Delta t\) per didelis, konvergencijai reikalingų iteracijų skaičius padidėja. Apskritai per didelis laiko prieaugis \(\Delta t\) didina iteracijų skaičių. Įgyvendinime automatinis prieaugio valdymas stebi liekamojo vektoriaus dydį: kai konvergencija lėta, \(\Delta t\) mažinamas, o kai iteracijų skaičius mažas – \(\Delta t\) didinamas (→ išsamiau žr. Žingsnio valdymas).

Susijusios temos

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status