Dažninio atsako analizė¶

Uždavinio formulavimas¶

Dažninio atsako analizėje dažnių srityje vertinama sistemos nusistovėjusio atsako amplitudė ir fazė, kai išorinė jėga harmoningai kinta laiko atžvilgiu. Kadangi judėjimo lygtis slopinimo atveju ir jo nepaisant nagrinėjama skirtingai, šiame skyriuje pirmiausia iš neslopinamų laisvųjų virpesių išvedamos savosios modos, o tada jos naudojamos kaip modalinė bazė slopinamam harmoniniam atsakui išskleisti.

Neslopinami laisvieji virpesiai ir savosios modos¶

Nepaisant slopinimo, judėjimo lygtis yra

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Išskleidus poslinkį pagal kiekvieną savąją modą gaunama

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Įstačius tai į lygtį \(\eqref{eq:2.6.1}\), gaunama

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Tai apibendrintasis savųjų reikšmių uždavinys. Jo skaitiniai sprendimo metodai, įskaitant poslinkio atvirkštinės iteracijos ir Lanczos metodus, aprašyti Modalinės analizės skyriuje. Čia apibendrinamos gautų savųjų dažnių ir savųjų modų savybės, naudojamos tolesniam harmoninio atsako išskleidimui.

Savųjų dažnių realumas¶

Galima parodyti, kad savasis dažnis yra realusis dydis. Tarkime, \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Paėmus lygties \(\eqref{eq:2.6.3}\) kompleksinį jungtinį, gaunama lygtis \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Padauginus iš \(\overline{U}_J^T\), gaunama

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Iš lygties \(\eqref{eq:2.6.5}\):

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Kadangi masės matrica yra simetrinė teigiamai apibrėžta, nenuliniam savajam vektoriui turime

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Todėl

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Taigi \(\omega_j^2 = \lambda_j\) yra realusis dydis.

Savųjų modų ortogonalumas ir normavimas¶

Nagrinėkime dvi skirtingas modas.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Iš to gaunama

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ir, kai savosios reikšmės skirtingos,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Taigi skirtingos savosios modos yra ortogonalios masės matricos atžvilgiu. Tai pačiai modai normavimas masės matricos atžvilgiu, kaip lygties \(\eqref{eq:2.6.12}\) atveju, supaprastina tolesnį nagrinėjimą.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmoninis atsakas su slopinimu¶

Toliau pateikiamas dažninio atsako analizės su slopinimu formulavimas. Judėjimo lygtis pateikta lygtimi \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Laikoma, kad slopinimo dėmuo yra Rayleigh tipo ir išreiškiamas lygtimi \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Naudojant modalinės analizės metu gautus savuosius vektorius, poslinkio vektorių laiko momentu t galima išskleisti pagal lygtį \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Tarkime, kad išorinės jėgos dėmuo yra harmoninės formos

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Tada nustatome \(b_{j}(t)\). Kadangi lygties \(\eqref{eq:2.6.13}\) judėjimo lygtis yra priverstinių virpesių formos,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

galioja. Išskleidimo koeficiento \(b_{j}(t)\) realioji ir menamoji dalys atitinkamai pateikiamos lygtimis \(\eqref{eq:2.6.18}i\) ir \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Taip gaunami ieškomi harmoninio atsako koeficientai.

Susijusios temos¶

Modalinė analizė — pagrindinio savųjų reikšmių uždavinio formulavimas
Dinaminės analizės metodai — dinaminė analizė laiko srityje
Analizės tipai — dažninio atsako analizės funkcijų apžvalga