Pereiti prie turinio

Dinaminės analizės metodai

Šiame skyriuje aprašomi dinaminių uždavinių analizės metodai, pagrįsti tiesioginiu integravimu laiko atžvilgiu. Toliau pateikiamos neišreikštinio ir išreikštinio metodų formuluotės.

Judėjimo lygties diskretizavimas (bendra sistema)

TBD (bus užbaigta kitame etape).

Neišreikštinis metodas (Newmark-β metodas)

Dinaminiams uždaviniams judėjimo lygčiai spręsti taikomas tiesioginio integravimo laiko atžvilgiu metodas:

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Čia \(M\) yra masės matrica, \(C\) – slopinimo matrica, \(Q\) – vidinių jėgų vektorius, o \(F\) – išorinių jėgų vektorius. Laikoma, kad masės matrica išlieka pastovi ir nepriklauso nuo deformacijos net netiesinėje analizėje.

Poslinkio, greičio ir pagreičio pokyčiai per laiko prieaugį \(\Delta t\) aproksimuojami Newmark-\(\beta\) metodu, kaip parodyta lygtyse \(\eqref{eq:2.5.2}\) ir \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Čia \(\gamma\) ir \(\beta\) yra Newmark-\(\beta\) metodo parametrai.

Gerai žinoma, kad šios \(\gamma\) ir \(\beta\) reikšmės atitinka atitinkamai tiesinio pagreičio metodą ir trapecijų taisyklę.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (tiesinio pagreičio metodas)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapecijų taisyklė)

Įstačius lygtis \(\eqref{eq:2.5.2}\) ir \(\eqref{eq:2.5.3}\) į lygtį \(\eqref{eq:2.5.1}\), gaunama:

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Tiesinio uždavinio atveju \(K_L\) yra tiesinė standumo matrica ir \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Įstačius šį ryšį į ankstesnę lygtį, gaunama:

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Vietose, kur pagreitis nustatytas kaip geometrinė kraštinė sąlyga, poslinkis iš lygties \(\eqref{eq:2.5.2}\) gaunamas taip:

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Panašiai vietose, kur nustatytas greitis, poslinkis iš lygties \(\eqref{eq:2.5.6}\) gaunamas taip:

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Čia \(u_{is}(t+\Delta{t})\) yra mazgo poslinkis laiko momentu \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) – mazgo greitis laiko momentu \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) – mazgo pagreitis laiko momentu \(t+\Delta{t}\), \(i\) – mazgo laisvės laipsnio numeris, o \(s\) – mazgo numeris. Masės ir slopinimo dėmenys traktuojami taip.

Masės dėmens traktavimas

Iš principo masės matrica traktuojama kaip sutelktoji masės matrica.

Slopinimo dėmens traktavimas

Slopinimo dėmuo traktuojamas kaip Rayleigh slopinimas, išreikštas lygtimi \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Čia \(R_m\) ir \(R_k\) yra Rayleigh slopinimo parametrai.

!DYNAMIC kortelėje nurodytos \(R_m\) ir \(R_k\) reikšmės vienodai taikomos visam modeliui. Norėdami kiekvienai medžiagai priskirti skirtingas \(R_m\) ir \(R_k\) reikšmes, tos medžiagos !MATERIAL bloke nurodykite !DAMPING kortelę. Elementams, priklausantiems medžiagai su nurodytu !DAMPING, elementų slopinimo matrica apskaičiuojama kaip \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) iš elemento masės matricos \(M_i\) ir tangentines standumo matricos \(K_i\), tada surenkama į globaliąją slopinimo matricą. Ši funkcija galioja tik neišreikštiniam metodui.

Išreikštinis metodas (centrinių skirtumų metodas)

Išreikštinis metodas pagrįstas šia judėjimo lygtimi laiko momentu t:

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Išreiškus poslinkius laiko momentais \(t + \Delta t\) ir \(t - \Delta t\) Taylor eilutėmis apie laiką \(t\) ir palikus narius iki antrosios \(\Delta t\) eilės, gaunamos šios lygtys.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Paėmus lygčių \(\eqref{eq:2.5.3}\) ir \(\eqref{eq:2.5.4}\) skirtumą ir sumą, gaunama:

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Įstačius lygtis \(\eqref{eq:2.5.12}\) ir \(\eqref{eq:2.5.13}\) į lygtį \(\eqref{eq:2.5.9}\), gaunama:

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Tiesinio uždavinio atveju \(Q(t) = K_L U(t)\), todėl ankstesnė lygtis tampa

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Jei masės matrica \(M\) laikoma sutelktąja masės matrica, o slopinimo matrica – proporcingojo slopinimo matrica \(C = R_m M\), lygčiai \(\eqref{eq:2.5.15}\) nereikia spręsti vienalaikių lygčių sistemos.

Todėl iš lygties \(\eqref{eq:2.5.15}\) \(U(t+\Delta t)\) galima gauti taip:

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Susijusios temos

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status