Fizikinių dydžių simbolių sąrašas Šiame puslapyje pateikiami FrontISTR teorijos vadove naudojamų fizikinių dydžių simboliai. Žymėjimo susitarimus (paryškintą vektorių ir tenzorių žymėjimą, Einšteino sumavimo susitarimą ir Voigto žymėjimą) žr. Tenzorinis žymėjimas ir matematiniai pagrindai .
Konfigūracijos ir koordinačių sistemos Simbolis Aprašymas \(\boldsymbol{X}\) Medžiaginio taško padėties vektorius atskaitos (pradinėje) konfigūracijoje (materialiosios koordinatės) \(\boldsymbol{x}\) Medžiaginio taško padėties vektorius dabartinėje konfigūracijoje (erdvinės koordinatės) \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Judėjimo atvaizdis: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) \(\Omega_0\) Kūno užimama sritis atskaitos konfigūracijoje \(\Omega\) Kūno užimama sritis dabartinėje konfigūracijoje \(\Gamma_0\) \(\Omega_0\) riba \(\Gamma\) \(\Omega\) riba \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrinė (poslinkio) riba: dabartinės / atskaitos konfigūracijos riba, kurioje nustatoma \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mechaninė riba: dabartinės / atskaitos konfigūracijos riba, kurioje nustatoma \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (arba \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\) ) \(\boldsymbol{n}\) Išorinis vienetinis paviršiaus normalės vektorius dabartinėje konfigūracijoje \(\boldsymbol{N}\) Išorinis vienetinis paviršiaus normalės vektorius atskaitos konfigūracijoje \(t\) Laikas
Susitarimas : fizikiniai dydžiai atskaitos konfigūracijoje žymimi didžiosiomis raidėmis arba apatiniu indeksu \(0\) , o dabartinės konfigūracijos dydžiai — mažosiomis raidėmis.
Laikas ir inkrementai (inkrementinė analizė) Simbolis Aprašymas \(\Delta t\) Laiko inkrementas: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) \(^{t}(\cdot)\) Fizikinis dydis laiku \(t\) (kairysis viršutinis indeksas). Pavyzdys: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) — Cauchy įtempis laiku \(t\) \(^{t}\Omega\) Dabartinės konfigūracijos sritis laiku \(t\) \(^{t}\Gamma\) Dabartinės konfigūracijos riba laiku \(t\)
Susitarimas : inkrementinėje analizėje būsena iki laiko \(t\) laikoma žinoma, o būsena laiku \(t + \Delta t\) sprendžiama kaip nežinoma. Kai laiko nereikia nurodyti aiškiai, kairysis viršutinis indeksas praleidžiamas. Formuluotė, kuri kaip atskaitą naudoja atskaitos konfigūraciją \(\Omega_0\) , vadinama Total Lagrange formuluote, o formuluotė, kuri kaip atskaitą naudoja inkremento pradžios dabartinę konfigūraciją \(^{t}\Omega\) , vadinama Updated Lagrange formuluote.
Poslinkis, greitis, pagreitis ir tūrinė jėga Simbolis Aprašymas \(\boldsymbol{u}\) Poslinkio vektorius: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) \(\bar{\boldsymbol{u}}\) Geometrinėje riboje \(\Gamma_B\) nustatytas poslinkis \(\delta \boldsymbol{u}\) Virtualusis poslinkis (bandymo funkcija): ant \(\Gamma_B\) galioja \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) \(\boldsymbol{v}\) Greičio vektorius: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) \(\boldsymbol{a}\) Pagreičio vektorius: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) \(\boldsymbol{g}\) Tūrinė jėga (masės vienetui) \(\boldsymbol{t}\) Paviršinės traukos vektorius (ploto vienetui): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) \(\bar{\boldsymbol{t}}\) Mechaninėje riboje \(\Gamma_t\) nustatyta trauka (Neumanno duomenys)
Diferencialiniai operatoriai Simbolis Aprašymas \(\dot{(\cdot)}\) Materialioji laiko išvestinė (laiko išvestinė sekant tą patį medžiaginį tašką): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) \(\nabla_X\) Atskaitos konfigūracijos gradientas (pagal materialiąsias koordinates \(\boldsymbol{X}\) ): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) \(\nabla_x\) Dabartinės konfigūracijos gradientas (pagal erdvines koordinates \(\boldsymbol{x}\) ): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) \(\nabla_S\) Simetrinio gradiento operatorius: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)
Pastaba : \(\nabla_X\) ir \(\nabla_x\) susiję ryšiu \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) . Gradientas be apatinio indekso, \(\nabla\) , naudojamas, kai konfigūracija aiški iš konteksto arba kai skirtumas išnyksta, kaip mažųjų deformacijų uždaviniuose.
Simbolis Aprašymas \(\boldsymbol{F}\) Deformacijos gradiento tenzorius: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) \(J\) Tūrio santykis: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) \(\boldsymbol{C}\) Dešinysis Cauchy–Greeno deformacijos tenzorius: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) \(\boldsymbol{b}\) Kairysis Cauchy–Greeno deformacijos tenzorius: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) \(\boldsymbol{L}\) Greičio gradiento tenzorius: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) \(\boldsymbol{D}\) Deformacijos greičio tenzorius (simetrinė \(\boldsymbol{L}\) dalis): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) \(\boldsymbol{W}\) Sukinio tenzorius (antisimetrinė \(\boldsymbol{L}\) dalis): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)
Simbolis Aprašymas \(\boldsymbol{E}\) Greeno–Lagranžo deformacijos tenzorius (atskaitos konfigūracija): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) \(\boldsymbol{e}\) Almansi deformacijos tenzorius (dabartinė konfigūracija): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Tiesinė Almansi deformacijos tenzoriaus dalis (simetrinis poslinkio gradientas dabartinėje konfigūracijoje): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) \(\boldsymbol{\varepsilon}\) Mažųjų deformacijų tenzorius (tiesinė aproksimacija): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)
Pastaba : \(\boldsymbol{E}\) daugiausia naudojamas Total Lagrange formuluotėje, o \(\boldsymbol{D}\) — Updated Lagrange formuluotėje.
Įtempių tenzoriai Simbolis Aprašymas \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy įtempių tenzorius (tikrasis įtempis, dabartinė konfigūracija): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) \(\boldsymbol{P}\) Pirmasis Piolos–Kirchhofo įtempių tenzorius (nominalusis įtempis): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) \(\boldsymbol{S}\) Antrasis Piolos–Kirchhofo įtempių tenzorius (atskaitos konfigūracija, simetrinis): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
Įtempių tenzorių transformavimo ryšiai:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Susitarimas : Total Lagrange formuluotėje naudojama pora \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) , o Updated Lagrange formuluotėje — pora \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) .
Tankis ir masė Simbolis Aprašymas \(\rho\) Masės tankis dabartinėje konfigūracijoje \(\rho_0\) Masės tankis atskaitos konfigūracijoje
Masės tvermė: \(\rho_0 = J\rho\) .
Medžiagos konstantos (tiesinis elastingumas) Simbolis Aprašymas \(E\) Youngo modulis \(\nu\) Puasono koeficientas \(\lambda\) Pirmoji Lamé konstanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) \(\mu\) Antroji Lamé konstanta (šlyties modulis): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Elastingumo tenzorius (ketvirtos eilės): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\) , komponentės \(C_{ijkl}\) \(D\) (arba \(\hat{\tilde{C}}\) )Medžiagos matrica (Voigto žymėjimas, 3D atveju \(6\times6\) ): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)
Izotropinės tiesiškai elastinės medžiagos elastingumo tenzoriaus komponentės:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hiperelastinės medžiagos Simbolis Aprašymas \(W(\boldsymbol{C})\) Elastinio potencialo funkcija (deformacijos energijos tankio funkcija) \(I_1, I_2, I_3\) Dešiniojo Cauchy–Greeno tenzoriaus \(\boldsymbol{C}\) pagrindiniai invariantai \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Redukuoti \(\boldsymbol{C}\) invariantai (atskyrus tūrio pokytį) \(C_1, C_2\) Mooney–Rivlin modelio medžiagos konstantos \(D\) Su tūriniu elastingumu susijusi medžiagos konstanta
Elastoplastinės medžiagos Simbolis Aprašymas \(\boldsymbol{D}^e\) Elastinė deformacijos greičio tenzoriaus komponentė \(\boldsymbol{D}^p\) Plastinė deformacijos greičio tenzoriaus komponentė \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Takumo funkcija \(\kappa\) Plastinę būseną nusakantis vidinis kintamasis (izotropinio kietėjimo kintamasis) \(\lambda^p\) Plastinis daugiklis (plastinės deformacijos greičio daugiklis): \(\lambda^p \geq 0\) \(\Theta\) Plastinis potencialas (\(\Theta = F\) asocijuotojo tekėjimo taisyklei) \(\bar{\sigma}\) Ekvivalentinis įtempis (pvz., von Miseso įtempis) \(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalentinė plastinė deformacija \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Izotropinio kietėjimo funkcija
Komplementarumo sąlyga: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\) , \(\lambda^p \geq 0\) , \(F \leq 0\) .
Baigtinių elementų metodas Simbolis Aprašymas \(\Omega^h, \Omega_0^h\) Baigtinių elementų diskretizavimu aproksimuotos dabartinės ir atskaitos konfigūracijų sritys: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) \(\Omega^e, \Omega^e_0\) Elemento sritis dabartinėje ir atskaitos konfigūracijose \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Elemento ribos dalis, priklausanti mechaninei ribai \(\boldsymbol{r}\) Natūraliosios koordinatės (elemento lokaliosios koordinatės) \(\boldsymbol{r}_\alpha\) Natūraliųjų koordinačių taškas, atitinkantis mazgą \(\alpha\) \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Elemento \(e\) mazgą \(\alpha\) atitinkanti formos funkcija \(n_e\) Elementą sudarančių mazgų skaičius \(n_g\) Bendras globaliųjų mazgų skaičius \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Elemento mazgo \(\alpha\) koordinatės ir poslinkis \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Elemento mazginių koordinačių ir poslinkių vektoriai: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) ir t. t. \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globalieji mazginių koordinačių ir poslinkių vektoriai (išdėstyti pagal mazgo numerį, tada pagal laisvės laipsnį) \(\boldsymbol{B}\) Deformacijos ir poslinkio ryšio matrica (B matrica) \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Formos funkcijų matrica: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) yra mazgo \(\alpha\) formos funkciją \(N_\alpha^e\) įstrižainėje turintis \(d \times d\) blokas, o \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) . \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) \(\boldsymbol{K}^e\) Elemento standumo matrica \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Elemento standumo matricos pointegralinės funkcijos (išreikštos atskaitos ir dabartinėje konfigūracijose): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL formuluotė), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL formuluotė)Elemento vidinių jėgų vektorius \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Elemento mazgą \(\alpha\) veikianti mazginė išorinė jėga ir elemento mazginių išorinių jėgų vektorius: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globalusis vidinių jėgų vektorius ir globalusis išorinių jėgų vektorius: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\) ; analogiškai \(\boldsymbol{F}\) \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Mazginė vidinė ir mazginė išorinė jėga globaliajame mazge \(i_g\) (mazginiai \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) blokai) \(\boldsymbol{K}\) Globalioji tangentinio standumo matrica: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\) . Matrica, sudaroma \(3\times 3\) bloką \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) patalpinant eilutėje \(i_g\) , stulpelyje \(i_h\) \(\boldsymbol{R}_i\) Liekamasis vektorius Newtono–Raphsono iteracijoje: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) \(d\boldsymbol{u}_i\) Pataisa Newtono–Raphsono iteracijoje (gaunama iteracijoje \(i\) išsprendus tiesinę lygtį \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) ) \(i_g\) Globalusis mazgo numeris (\(1 \leq i_g \leq n_g\) ) \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Elemento \(e\) lokalųjį mazgo numerį \(\alpha\) atitinkantis globalusis mazgo numeris: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) \(\mathcal{E}(i_g)\) Globalųjį mazgo numerį \(i_g\) atitinkančių porų \((e, \alpha)\) aibė: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\) . Naudojama surinkimo operacijose \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Globaliųjų mazgų numerių porą \((i_g, i_h)\) atitinkančių trijulių \((e, \alpha, \beta)\) aibė; naudojama standumo matricai surinkti \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Elementą sudarančių mazgų indeksai \(i, j, k, l, \ldots\) Laisvės laipsnių indeksai (3D atveju \(1, 2, 3\) )
Išplėstiniai ir konstrukciniai elementai Simbolis Aprašymas \(\bar{\boldsymbol{B}}\) Deformacijos ir poslinkio ryšio matrica, kurios tūrinė dalis modifikuota B-bar metodu (tūrinė komponentė pakeičiama elemento centre įvertinta B matrica) \(\bar{\boldsymbol{F}}\) Deformacijos gradientas, kurio tūrinė dalis modifikuota F-bar metodu: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) \(J_0\) Elemento centre \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) įvertinto deformacijos gradiento tūrio santykis: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) \(\boldsymbol{\alpha}\) Nesuderinamo režimo elemento vidinių laisvės laipsnių vektorius (papildomų poslinkio režimų, kuriems elemento riboje nereikalaujamas tęstinumas, koeficientai) \(M_k(\boldsymbol{r})\) Nesuderinamų režimų formos funkcijos: \(M_1=1-\xi^2\) , \(M_2=1-\eta^2\) , \(M_3=1-\zeta^2\) \(h\) Kevalo elemento storis \(A\) Sijos elemento skerspjūvio plotas \(I\) Sijos elemento skerspjūvio ploto antrasis momentas \(G\) Šlyties modulis: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
Susijusios temos