Tenzorinė žymėsena ir matematiniai pagrindai¶

Šiame skyriuje sutelktos tenzorinės, indeksinės ir Voigt žymėsenos taisyklės, naudojamos tolesniuose FrontISTR teorijos vadovo skyriuose. Čia aprašomos tik grynosios žymėjimo taisyklės, nepriklausančios nuo konkrečių fizikinių dydžių apibrėžimų. Žymėjimo taisyklės, priklausančios nuo kontinuumo judėjimo konfigūracijos (atskaitos / dabartinės), pavyzdžiui, didžiųjų ir mažųjų raidžių ar materialiųjų ir erdvinių išvestinių skirtis, pateiktos skyriuje Judėjimas, deformacija ir deformacijos matas, kuriame įvedama konfigūracijos sąvoka.

Tenzorinė žymėsena¶

Pusjuodis vektorių ir tenzorių žymėjimas¶

Pagal tipografinę taisyklę skaliariniai dydžiai ir vektorių bei tenzorių komponentės rašomi įprastu šriftu (pvz., \(\rho\) ir \(x_i\)), o patys vektoriniai ir tenzoriniai dydžiai – pusjuodžiu šriftu (pvz., \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) ir \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteino sumavimo taisyklė¶

Jei nenurodyta kitaip, taikoma Einsteino sumavimo taisyklė: kai tame pačiame naryje tas pats indeksas pasirodo du kartus, pagal jį sumuojama. Pavyzdžiui,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ir tenzorių \(\boldsymbol{A}\) bei \(\boldsymbol{B}\) sandaugos \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) komponentė \(i,j\) yra

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Pagal indeksų žymėjimo taisyklę, kai \(i, j, k, l, \ldots\) naudojami be papildomo paaiškinimo, jie žymi su laisvės laipsniais susijusius indeksus (trimačiu atveju \(1, 2, 3\)), o mažosios graikiškos raidės \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) kaip indeksai žymi elementą sudarančių mazgų indeksus.

Vidinė sandauga, transponavimas ir tenzorinė sandauga¶

Tenzoriaus \(\boldsymbol{A}\) transponuotas tenzorius žymimas \(\boldsymbol{A}^T\). Antrosios eilės tenzorių \(\boldsymbol{A}\) ir \(\boldsymbol{B}\) vidinė sandauga (dviguba kontrakcija) rašoma

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Vektorių \(\boldsymbol{a}\) ir \(\boldsymbol{b}\) vidinė sandauga yra \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), o jų tenzorinė sandauga – \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt žymėsena¶

Įtempiai ir deformacijos yra simetriniai antrosios eilės tenzoriai laisvės laipsnių atžvilgiu, o jų tiesinį ryšį aprašantys koeficientai sudaro ketvirtosios eilės tenzorių. Tiesioginis jų apdorojimas programoje nepalankus skaičiavimo sąnaudų ir programavimo požiūriu (daugiamačiai masyvai ir giliai įdėti ciklai). Todėl bendrosios paskirties baigtinių elementų programos išnaudoja simetriją ir įtempius bei deformacijas suspaudžia į stulpelinius vektorius, o ketvirtosios eilės tamprumo tenzorių – į dvimatę matricą. Tai vadinama Voigt žymėsena.

Toliau tenzorinio dydžio \(\boldsymbol{A}\) matricinis arba vektorinis atvaizdas žymimas \(\hat{A}\), kad būtų atskirtas nuo pradinio tenzoriaus.

Įtempių ir deformacijų vektorinis atvaizdas¶

Simetriniam įtempių tenzoriui \(\boldsymbol{\sigma}\) ir deformacijų tenzoriui \(\boldsymbol{\varepsilon}\) dviem matmenimis,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

trimis matmenimis,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

jie apdorojami kaip stulpeliniai vektoriai. Ta pati taisyklė taikoma išvestiniams dydžiams, pavyzdžiui, variacijoms ir diferencialams. Atkreipkite dėmesį, kad deformacijų šlyties komponentės turi daugiklį 2 (įtempių pusėje jo nėra). Dėl šios asimetrijos tenzorinę vidinę sandaugą galima kompaktiškai užrašyti kaip vektorinę vidinę sandaugą

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Įgyvendinant programoje šlyties deformacijos komponenčių daugiklį 2 lengva pritaikyti neteisingai, todėl visada reikia prisiminti taisyklę „įtempiams nėra / deformacijoms yra“. Tokia pati Voigt žymėsena taikoma dydžiams atskaitos konfigūracijoje (antrajam Piola-Kirchhoff įtempiui \(\boldsymbol{S}\) ir Green-Lagrange deformacijai \(\boldsymbol{E}\)).

Ketvirtosios eilės tenzoriaus matricinis atvaizdas¶

Tiesiniam įtempių ir deformacijų ryšiui \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (komponentėmis \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), pasinaudojus \(\boldsymbol{\varepsilon}\) simetrija gaunama

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Trimis matmenimis išdėsčius \(\tilde{C}\) kaip 6×6 medžiagos matricą \(\hat{\tilde{C}}\), pradinį tenzorinį ryšį galima išreikšti taip:

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Toliau šiame vadove, jei nenurodyta kitaip, medžiagos matrica žymima \(D\) (arba \(\hat{C}\)). Konkrečias izotropinio tiesinio tamprumo komponentes žr. Tiesinis tamprumas.

Diferencialinių operatorių žymėjimo taisyklės¶

Simetrinio gradiento operatorius¶

Vektorinio lauko \(\boldsymbol{u}\) simetrinio gradiento operatorius \(\nabla_S\) apibrėžiamas taip:

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Komponentėmis \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Mažųjų deformacijų tenzorių \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) šiuo operatoriumi galima užrašyti kompaktiškai. Baigtinių deformacijų atveju gradiento konfigūracijos (atskaitos / dabartinės) skirtis aprašyta skyriuje Judėjimas, deformacija ir deformacijos matas.

Materialioji laiko išvestinė¶

Dydžio \(A\) materialioji laiko išvestinė (laiko išvestinė sekant tą patį materialųjį tašką) žymima tašku virš simbolio, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Greitis ir pagreitis žymimi pagal tą pačią taisyklę.

Susijusios temos¶

Judėjimas, deformacija ir deformacijos matas — atskaitos / dabartinės konfigūracijos sąvokos ir nuo konfigūracijos priklausančios žymėjimo taisyklės (didžiosios / mažosios raidės, materialiosios / erdvinės išvestinės)
Įtempiai ir tvermės dėsniai — valdančiųjų lygčių išvedimas naudojant šią žymėseną
Virtualiojo darbo principas — silpnosios formos ir Voigt žymėsenos naudojimas
Tiesinis tamprumas — konkreti medžiagos matricos \(D\) forma
Formos funkcijos ir baigtinių elementų aproksimacija — elemento standumo skaičiavimas naudojant Voigt žymėseną