Šilumos laidumo lygtis¶

Šiame skyriuje apibendrinama FrontISTR nagrinėjama šilumos laidumo pagrindinė lygtis kontinuumo lygmeniu ir jos kraštinės sąlygos. Laiko diskretizavimas ir BEM diskretizavimas paliekami diskretizavimo (L3d) ir sprendimo algoritmo (L3e: solution_methods/05_transient_heat) skyriams.

Pagrindinė lygtis¶

Šilumos laidumo lygtis kontinuume yra tokia.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Čia \(\rho=\rho(x)\) žymi masės tankį, \(c=c(x,T)\) – savitąją šilumą, \(T=T(x,t)\) – temperatūrą, \(k=k(x,T)\) – šilumos laidumą, \(Q=Q(x,T,t)\) – šilumos generavimą, \(x\) – padėtį, o \(t\) – laiką. \(k_x, k_y, k_z\) yra šilumos laidumo koeficientai atitinkamomis kryptimis anizotropinio šilumos laidumo atveju.

Konkrečias šilumines savybes, įskaitant priklausomybę nuo temperatūros ir anizotropiją, žr. Šiluminės savybės.

Kraštinės sąlygos¶

Nagrinėjamą sritį pažymėkime \(S\), o jos ribą – \(\Gamma\). Darant prielaidą, kad kiekviename \(\Gamma\) taške nustatyta arba Dirichlet, arba Neumanno tipo kraštinė sąlyga, kraštinės sąlygos užrašomos taip.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Čia laikoma, kad \(T_1\) ir \(q\) funkcijų formos yra žinomos. \(q\) yra iš ribos išeinantis šilumos srautas. Ribos šilumos srautas \(q\) susideda iš šių trijų dedamųjų.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Čia \(q_s\) yra paskirstytasis šilumos srautas, \(q_c\) – konvekcinio šilumos perdavimo šilumos srautas, o \(q_r\) – spinduliavimo šilumos perdavimo šilumos srautas.

Čia \(Tc=Tc(x,t)\) yra konvekcinio šilumos perdavimo aplinkos temperatūra, \(hc=hc(x,t)\) – konvekcinio šilumos perdavimo koeficientas, \(Tr=Tr(x,t)\) – spinduliavimo šilumos perdavimo aplinkos temperatūra, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) – spinduliavimo šilumos perdavimo koeficientas, \(\varepsilon\) – spinduliavimo geba, \(\sigma\) – Stefano–Boltzmanno konstanta, o \(F\) – formos koeficientas.

Kaip šias sąlygas nurodyti įvesties faile, žr. funkcijų skyriaus Kraštinės sąlygos ir apkrovos.

Silpnoji forma¶

Sąsaja su konstrukcijų analize¶

Susijusios temos¶

Nestacionarus šilumos laidumas — laiko diskretizavimas ir netiesinė iteracija
Šiluminės savybės — medžiagos savybių formulavimas ir priklausomybė nuo temperatūros
Formos funkcijos ir baigtinių elementų aproksimacija — BEM diskretizavimo sistema
Funkcijų skyrius Kraštinės sąlygos ir apkrovos — šilumos laidumo analizės kraštinių sąlygų įvestis