Inkrementinės analizės schema¶
Inkrementinės analizės poreikis¶
Kaip aprašyta pirmiau, mažų deformacijų uždaviniai gali būti analizuojami baigtinių elementų metodu naudojant virtualaus darbo principą, lygiavertį pagrindinėms lygtims, tokioms kaip pusiausvyros lygtys, ir diskretizuojant šią lygtį baigtiniais elementais. Toks pats pagrindinis virtualaus darbo principas taikomas ir baigtinių deformacijų uždaviniams, kuriuose nagrinėjamos didelės konstrukcijų deformacijos.
Tačiau baigtinių deformacijų uždaviniuose virtualaus darbo principo lygtis poslinkio atžvilgiu tampa netiesinė net ir darant prielaidą, kad medžiaga yra tiesinė. Netiesinėms lygtims spręsti paprastai naudojami kartotiniai skaičiavimai iteraciniu metodu.
Šiuose iteraciniuose skaičiavimuose taikoma inkrementinė analizė: skaičiavimas atliekamas dalimis mažiems apkrovos prieaugiams, o šie prieaugiai kaupiami, kol pasiekiama galutinė deformuota būsena. Darant mažų deformacijų prielaidą, apibrėžiant deformaciją ir įtempius nebuvo būtina atskirai skirti konfigūracijų prieš ir po deformavimo. Kitaip tariant, esant mažų deformacijų prielaidai, nesvarbu, ar pagrindinės lygtys aprašomos prieš deformaciją, ar po jos esančioje konfigūracijoje.
Atliekant inkrementinę baigtinių deformacijų uždavinio analizę, formuluotė priklauso nuo to, ar atskaitos konfigūracija pasirenkama pradinė konfigūracija, ar konfigūracija inkremento pradžioje. Pirmasis būdas vadinamas total Lagrange metodu, antrasis – updated Lagrange metodu. Daugiau informacijos žr. skyriaus pabaigoje pateiktose nuorodose ir susijusioje medžiagoje.
Pradinė lygtis: virtualaus darbo principas laiku \(t'\)¶
Tarkime, atliekama inkrementinė analizė, kurioje būsena iki laiko \(t\) yra žinoma, o būsena laiku \(t' = t + \Delta t\) – nežinoma (žr. 2.2.1 pav.). Pusiausvyros lygtys, kraštinės sąlygos ir virtualaus darbo principas laiku \(t'\) (išreikšti dabartinėje konfigūracijoje naudojant Cauchy įtempį \(^{t'}\sigma\) ir tiesinę Almansi deformacijos dalį \(^{t'} A_{(L)}\)) pateikti skyriuje Virtualaus darbo principas.
2.2.1 pav. Inkrementinės analizės samprata
Tačiau ši pradinė lygtis aprašyta (nežinomoje) konfigūracijoje laiku \(t'\), todėl faktinėje sprendimo procedūroje kaip atskaitos konfigūracija iš naujo pasirenkama konfigūracija laiku \(0\), pradinė konfigūracija \(V\), arba konfigūracija laiku \(t\), dabartinė konfigūracija \(^{t'} v\); tada lygtis perrašoma inkrementine forma ir sprendžiama:
- Total Lagrange metodas — kaip atskaitos konfigūracija naudojama pradinė konfigūracija \(V\). Naudojami antrasis PK įtempis \(\boldsymbol{S}\) ir Green-Lagrange deformacija \(\boldsymbol{E}\).
- Updated Lagrange metodas — kaip atskaitos konfigūracija naudojama dabartinė konfigūracija \(^{t}v\) inkremento pradžioje. Naudojami Cauchy įtempis \(\boldsymbol{\sigma}\) ir tiesinė Almansi deformacijos dalis \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).
Abiejų formuluočių erdvinę diskretizaciją (B matricą ir vidinių jėgų vektorių) žr. Vidinio virtualaus darbo diskretizavimas, o linearizavimą ir liestinės standumo matricos sudarymą – Liestinės standumo matrica.
Susijusios temos¶
- Virtualaus darbo principas — pagrindinė pradinė lygtis (silpnoji forma dabartinėje ir pradinėje konfigūracijose)
- Vidinio virtualaus darbo diskretizavimas — TL/UL B matricos ir vidinių jėgų vektoriai
- Liestinės standumo matrica — linearizavimu gautos \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\)
- Newton-Raphson metodas — iteracinis algoritmas