Pereiti prie turinio

Virtualiojo darbo principas

Remdamiesi Įtempių ir tvermės dėsnių skyriuje išvestomis pusiausvyros lygtimi ir kraštinėmis sąlygomis išvesime virtualiojo darbo principą – kontinuumo mechanikos kraštinio uždavinio silpnąją formą. Baigtinių elementų diskretizavimas pradedamas būtent nuo šios silpnosios formos. Šiame skyriuje pateikiama ir dabartinės konfigūracijos forma (naudojant Cauchy įtempį ir tiesinę Almansi deformacijos dalį), ir atskaitos konfigūracijos forma (naudojant antrąjį Piola-Kirchhoff įtempį ir Green-Lagrange deformaciją), parodomas jų lygiavertiškumas ir galiausiai perėjimas į mažųjų deformacijų atvejį.

Pusiausvyros lygtis ir kraštinės sąlygos

Tegul \(\boldsymbol{g}\) yra kontinuumą veikianti masės vienetui tenkanti tūrinė jėga, o kūnas dabartinėje konfigūracijoje užima sritį \(\Omega\). Riba \(\Gamma\) padalijama į geometrinę ribą \(\Gamma_B\), kurioje nustatytas poslinkis \(\bar{\boldsymbol{u}}\), ir mechaninę ribą \(\Gamma_t\), kurioje nustatyta paviršinė jėga \(\bar{\boldsymbol{t}}\), taip, kad \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) ir \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Statiniam uždaviniui pusiausvyros lygtis gaunama iš Įtempių ir tvermės dėsniuose pateikto impulso tvermės dėsnio atmetus inercijos dėmenį:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{srityje} \ \Omega \]

Kraštinės sąlygos yra

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{ant} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{ant} \ \Gamma_B \]

Toliau virtualiojo darbo principas išvedamas kaip pusiausvyros lygties ir mechaninės kraštinės sąlygos \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) silpnoji forma. Geometrinė kraštinė sąlyga \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) įtraukiama parenkant bandymo funkciją.

Silpnoji forma dabartinėje konfigūracijoje

Silpnojoje formoje leistinų nežinomo poslinkio funkcijų erdvę ir bandymo funkcijų erdvę atitinkamai apibrėžkime taip:

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{ant} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{ant} \ \Gamma_B \} \]

Čia \(d\) yra erdvės matmuo, \(H^1(\Omega)\) – Sobolevo erdvė funkcijų, kurios kartu su pirmosiomis silpnosiomis išvestinėmis yra kvadratiškai integruojamos, o \(\delta\) žymi variaciją. Dabartinės konfigūracijos atvaizde \(\Omega\) yra deformuota konfigūracija; praktiniame skaitiniame sprendime ji perkeliama atgal į atskaitos konfigūraciją arba į žinomą tarpinę konfigūraciją.

Padauginus pusiausvyros lygtį iš svorio \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ir pritaikius Gauss divergencijos teoremą bei mechaninę kraštinę sąlygą, gaunamas toks virtualiojo darbo principas dabartinėje konfigūracijoje:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Čia \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) yra tiesinė Almansi deformacijos tenzoriaus dalis, apibrėžiama

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Jos variacija yra \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Taigi ieškome \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\), kad virtualiojo darbo lygtis būtų tenkinama kiekvienam \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Kairioji pusė yra vidinių jėgų virtualusis darbas, o dešinioji – nustatytos paviršinės ir tūrinės jėgų virtualusis darbas.

Kadangi ši lygtis užrašyta deformuotoje (dabartinės konfigūracijos) srityje, praktiniame sprendimo algoritme pradine konfigūracija \(\Omega_0\) (atskaitos konfigūracija) arba žinoma tarpinė konfigūracija iš naujo pasirenkama kaip atskaitos, lygtis perrašoma prieaugine forma ir sprendžiama. Konkretų atskaitos konfigūracijos pasirinkimą (Total Lagrange / Updated Lagrange) ir prieauginį skaidymą žr. Prieauginės analizės sistemoje.

Silpnoji forma pradinėje konfigūracijoje

Nagrinėkime kūną, atskaitos konfigūracijoje užimantį sritį \(\Omega_0\), kurios riba \(\Gamma_0\) padalyta į \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Perkėlus dabartinės konfigūracijos atvaizdą atgal į atskaitos konfigūraciją, gaunama konjuguotoji įtempio ir deformacijos pora – antrasis Piola-Kirchhoff įtempis \(\boldsymbol{S}\) ir Green-Lagrange deformacija \(\boldsymbol{E}\). Tada virtualiojo darbo principas pradinėje konfigūracijoje yra

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Čia \(\rho_0\) yra masės tankis atskaitos konfigūracijoje; pagal masės tvermės ryšį \(\rho_0 = J\rho\) ši išraiška lygiavertė tūrinės jėgos atvaizdui dabartinėje konfigūracijoje.

Dabartinės ir pradinės konfigūracijų atvaizdų lygiavertiškumas

Vidinių jėgų virtualusis darbas abiejuose atvaizduose sutampa transformuojant deformacijos gradientu \(\boldsymbol{F}\) ir tūrio santykiu \(J = \det \boldsymbol{F}\), t. y.

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Išorinių jėgų dėmenys taip pat lygiaverčiai dėl masės tvermės ir paviršinių jėgų transformacijos. Todėl virtualiojo darbo lygtis dabartinėje ir pradinėje konfigūracijose išreiškia tą patį principą skirtingose konfigūracijose. Sprendimo metodas, besiremiantis atskaitos konfigūracija, atitinka Total Lagrange metodą, o besiremiantis dabartine konfigūracija (iškart ankstesne konvergavusia konfigūracija) – Updated Lagrange metodą.

Redukcija į mažųjų deformacijų atvejį

Pagal mažųjų deformacijų prielaidas \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) ir \(J \approx 1\) skirtis tarp dabartinės ir atskaitos konfigūracijų išnyksta, antrasis PK įtempis sutampa su Cauchy įtempiu (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), o Green-Lagrange deformacija ir tiesinė Almansi deformacijos dalis redukuojasi į mažųjų deformacijų tenzorių \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Tada virtualiojo darbo principas redukuojasi į silpnąją formą, išreikštą Cauchy įtempiu \(\boldsymbol{\sigma}\) ir mažųjų deformacijų tenzoriumi \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{ant} \ \Gamma_B \]

Tai silpnoji forma, tiesiogiai naudojama mažųjų deformacijų tiesinės elastinės statinės analizės diskretizavimui (Tiesinė elastinė statinė analizė (įvadas ir priedas) prasideda nuo šios formos ir parodo elemento standumo \(\boldsymbol{K}^e\) sudarymą surenkant globaliąją lygtį \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Įstačius tiesinio tamprumo konstitucinį dėsnį \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ir Voigt žymėsenoje užrašius \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), silpnoji forma tampa

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ir įgauna šią formą.

Susijusios temos

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status