Įtempiai ir tvermės dėsniai¶

Šiame skyriuje sisteminami įtempių tenzorių apibrėžimai ir jų tarpusavio ryšiai, taip pat pusiausvyros lygtys bei įtempių simetrija, išvedamos iš masės, tiesinio impulso ir kampinio impulso tvermės dėsnių. Trys įtempių tenzoriai — Cauchy įtempių tenzorius \(\boldsymbol{\sigma}\), pirmasis Piolos–Kirchhofo įtempių tenzorius \(\boldsymbol{P}\) ir antrasis Piolos–Kirchhofo įtempių tenzorius \(\boldsymbol{S}\) — pristatomi pagal tai, kuri konfigūracija naudojama kaip atskaitos paviršius ir jėgos vektorius. Konfigūracijos, judėjimo ir deformacijos gradiento apibrėžimus žr. Judėjimas, deformacija ir deformacijos matas, o simbolių sąrašą — Fizikinių dydžių simbolių sąrašas.

Cauchy įtempių tenzorius¶

Dabartinės konfigūracijos taške \(\boldsymbol{x}\) esančiame nykstamai mažame paviršiuje (plotas \(d\Gamma\), išorinis vienetinis normalės vektorius \(\boldsymbol{n}\)) veikiančią jėgą pažymėkime \(d\boldsymbol{f}\), o paviršinės traukos vektorių \(\boldsymbol{t}\) apibrėžkime kaip jėgą ploto vienetui: \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) priklauso ir nuo padėties \(\boldsymbol{x}\), ir nuo normalės \(\boldsymbol{n}\). Pritaikius impulso tvermę nykstamai mažam tetraedrui gaunama, kad \(\boldsymbol{t}\) tiesiškai priklauso nuo \(\boldsymbol{n}\), todėl egzistuoja antros eilės tenzorius \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\), toks, kad

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

bet kuriam \(\boldsymbol{n}\) (Cauchy įtempių teorema). Tenzorius \(\boldsymbol{\sigma}\) vadinamas Cauchy įtempių tenzoriumi; jis taip pat vadinamas tikruoju įtempiu, nes nusako jėgą ploto vienetui, apskaičiuotą pagal dabartinės konfigūracijos geometriją. Komponentė \(\sigma_{ij}\) nusako dabartinėje konfigūracijoje koordinačių ašiai \(x_j\) statmeną nykstamai mažą paviršių veikiančios jėgos ploto vienetui \(x_i\) komponentę.

Kaip toliau parodoma iš kampinio impulso tvermės, Cauchy įtempis yra simetrinis tenzorius:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Todėl trimatėje erdvėje jis turi šešias nepriklausomas komponentes (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Įtempio vektorizavimas Voigto žymėjimu remiasi šia simetrija (žr. Tenzorinis žymėjimas ir matematiniai pagrindai). Cauchy įtempis naudojamas FrontISTR geometrinės netiesinės analizės su Updated Lagrange metodu įtempių išvesčiai ir mažų deformacijų analizei.

Pirmasis ir antrasis Piolos–Kirchhofo įtempiai¶

Esant baigtinėms deformacijoms įtempį dažnai patogu išreikšti atskaitos konfigūracijos paviršių ir vektorių atžvilgiu, todėl įvedami du Piolos–Kirchhofo įtempių tenzoriai. Tegu nykstamai mažo paviršiaus plotas atskaitos konfigūracijoje yra \(d\Gamma_0\), o jo išorinis vienetinis normalės vektorius — \(\boldsymbol{N}\).

Pirmasis Piolos–Kirchhofo įtempis (pirmasis PK įtempis, nominalusis įtempis) \(\boldsymbol{P}\) apibrėžiamas kaip įtempių tenzorius, gaunamas dabartinės konfigūracijos jėgą \(d\boldsymbol{f}\) taikant nykstamai mažam paviršiui atskaitos konfigūracijoje:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Pritaikius Nansono formulę \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) kartu su Cauchy įtempių teorema gaunamas ryšys su Cauchy įtempiu:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Pirmasis PK įtempis paprastai nėra simetrinis.

Antrasis Piolos–Kirchhofo įtempis (antrasis PK įtempis) \(\boldsymbol{S}\) apibrėžiamas kaip įtempių tenzorius, gaunamas dabartinės konfigūracijos jėgą \(d\boldsymbol{f}\) transformuojant atgal į atskaitos konfigūraciją su \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ir taikant ją nykstamai mažam paviršiui atskaitos konfigūracijoje:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Ir jėgos vektorius, ir paviršius, kuriame jis veikia, čia išreiškiami atskaitos konfigūracijos dydžiais, todėl šis tenzorius nekinta esant standžiojo kūno sukimui ir yra simetrinis. Jo ryšys su pirmuoju PK įtempiu bei transformacija iš Cauchy įtempio yra

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Antrasis PK įtempis išvedamas iš hiperelastinės deformacijos energijos funkcijos \(W(\boldsymbol{C})\) kaip \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\), o Total Lagrange metode naudojamas kartu su Greeno–Lagranžo deformacija \(\boldsymbol{E}\) kaip darbui konjuguota pora \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Atskaitos konfigūracijos ir simetrijos savybės apibendrintos toliau. Mažų deformacijų riboje (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) visi trys įtempiai sutampa.

Įtempių tenzorius	Atskaitos paviršius	Jėgos vektorius	Simetrija	Taikymas
Cauchy įtempis \(\boldsymbol{\sigma}\)	Dabartinė konfigūracija \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Dabartinė konfigūracija \(d\boldsymbol{f}\)	Simetrinis	Updated Lagrange metodas / mažų deformacijų analizė
Pirmasis PK įtempis \(\boldsymbol{P}\)	Atskaitos konfigūracija \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Dabartinė konfigūracija \(d\boldsymbol{f}\)	Paprastai nesimetrinis	Pusiausvyros lygtys atskaitos konfigūracijoje
Antrasis PK įtempis \(\boldsymbol{S}\)	Atskaitos konfigūracija \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Atskaitos konfigūracija \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetrinis	Total Lagrange metodas / hiperelastingumas

Masės ir impulso tvermė bei pusiausvyros lygtys¶

Tegu \(\rho\) yra masės tankis dabartinėje konfigūracijoje, o \(\rho_0\) — masės tankis atskaitos konfigūracijoje. Masės tvermės dėsnis \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), kartu su tūrio elemento transformacija \(dv = J\, dV\), pereina į vietinę formą

\[ \rho_0 = J \rho \]

Tai yra vietinis masės tvermės ryšys.

Tegu \(\boldsymbol{g}\) yra tūrinė jėga masės vienetui, o \(\boldsymbol{a}\) — pagreitis. Pritaikius Cauchy įtempių teoremą ir Gauso divergencijos teoremą tiesinio impulso tvermės dėsniui (pirmajam Eulerio judėjimo dėsniui), gaunama vietinė pusiausvyros lygtis (judėjimo lygtis) dabartinėje konfigūracijoje:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Perrašius integralą atskaitos konfigūracijoje, naudojant Nansono formulę ir \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), gaunama vietinė forma atskaitos konfigūracijoje:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Šios dvi formos yra ekvivalenčios per įtempių transformacijos taisyklę ir \(\rho_0 = J\rho\). Atmetus inercijos narį gaunama

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

t. y. statinės pusiausvyros lygtis, kuri yra FrontISTR statinės analizės (tiesinės ir netiesinės) pradinis taškas.

Kampinio impulso tvermė ir įtempių simetrija¶

Sujungus kampinio impulso tvermę (antrąjį Eulerio judėjimo dėsnį) su iš tiesinio impulso tvermės gauta pusiausvyros lygtimi, gaunama Cauchy įtempių tenzoriaus simetrija:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Taigi trimatėje erdvėje jis turi šešias nepriklausomas komponentes. Transponavus abi transformacijos \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) puses ir pasinaudojus tuo, kad \(\boldsymbol{F}\) yra nevienaskaitis, gaunama, kad antrasis PK įtempis taip pat yra simetrinis:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

todėl ir jis turi šešias nepriklausomas komponentes. Priešingai, pirmasis PK įtempis \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) paprastai nėra simetrinis; galioja tik ryšys \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (t. y. \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) yra simetrinis), ir jis turi devynias nepriklausomas komponentes.

Šios simetrijos yra pagrindas įtempį Voigto žymėjimu išreikšti šešių komponenčių vektoriumi. Voigto žymėjimo susitarimus ir medžiagų matricų sudarymą žr. Tenzorinis žymėjimas ir matematiniai pagrindai ir Tiesinis elastingumas.