Judėjimas, deformacija ir deformacijos matas¶

Atskaitos ir dabartinė konfigūracijos¶

Konfigūracijų apibrėžimas¶

Kad būtų galima atskirti, kuri kūno forma laike naudojama kaip pagrindas fizikiniams dydžiams aprašyti, šiame vadove naudojamos dvi konfigūracijos.

Atskaitos konfigūracija: nedeformuota forma analizės pradžioje (laiku \(0\)), dar vadinama pradine konfigūracija. Taškas atskaitos konfigūracijoje aprašomas materialiąja koordinate \(\boldsymbol{X}\), o tūris ir paviršius žymimi \(V\) ir \(S\).
Dabartinė konfigūracija: deformuota forma laiku \(t\). Taškas dabartinėje konfigūracijoje aprašomas erdvine koordinate \(\boldsymbol{x}\), o tūris ir paviršius žymimi \(v\) ir \(s\).

Judėjimas išreiškiamas atvaizdžiu tarp šių dviejų konfigūracijų, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), o poslinkis apibrėžiamas \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Nuo konfigūracijos priklausantis žymėjimas (didžiosios / mažosios raidės)¶

Simbolio raidžių registras nurodo, kuriai konfigūracijai priklauso fizikinis dydis.

Atskaitos konfigūracijai priklausantys dydžiai žymimi didžiosiomis raidėmis (pvz., \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Dabartinei konfigūracijai priklausantys dydžiai žymimi mažosiomis raidėmis (pvz., \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Dydžiams, susiejantiems abi konfigūracijas, pvz., pirmajam Piolos–Kirchhofo įtempiui \(\boldsymbol{P}\), naudojamas įprastas žymėjimas, o prireikus jų prasmė aiškiai nurodoma tekste.
Mažųjų deformacijų teorijoje dviejų konfigūracijų skirtumas išnyksta, todėl naudojami tik mažosiomis raidėmis žymimi dydžiai (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Atskaitos ir dabartinės konfigūracijos gradientai¶

Žymėjimas ir prasmė skiriasi priklausomai nuo to, kurios konfigūracijos atžvilgiu skaičiuojama erdvinė išvestinė.

Atskaitos konfigūracijos gradientas \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradientas materialiųjų koordinačių atžvilgiu. Pavyzdys: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Dabartinės konfigūracijos gradientas \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradientas erdvinių koordinačių atžvilgiu. Pavyzdys: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Juos sieja \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Laiko išvestinių žymėjimo susitarimą (materialioji laiko išvestinė \(\dot{(\cdot)}\)) žr. Tenzorinis žymėjimas ir matematiniai pagrindai.

Judėjimo aprašymas¶

Judėjimo atvaizdis ir materialusis / erdvinis aprašymas¶

Jei kontinuumas laikomas medžiaginių taškų rinkiniu, kurio taškai žymimi jų padėtimi laiku \(0\), \(\boldsymbol{X}\), judėjimas atvaizdžiu medžiaginiam taškui \(\boldsymbol{X}\) jo padėtį laiku \(t\), \(\boldsymbol{x}\), susieja per atvaizdį \(\phi\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Pagal susitarimą, kai atskaitos konfigūracija yra pradinė konfigūracija, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Pagal nepriklausomų kintamųjų pasirinkimą skiriami du aprašymo būdai.

Materialusis aprašymas (Lagranžo aprašymas): fizikiniai dydžiai išreiškiami kaip \((\boldsymbol{X}, t)\) funkcijos. Kietojo kūno mechanikoje tai natūralus pasirinkimas, nes atskaitos konfigūracija pateikiama kaip nekintama forma.
Erdvinis aprašymas (Eulerio aprašymas): fizikiniai dydžiai išreiškiami kaip \((\boldsymbol{x}, t)\) funkcijos. Tai standartinis aprašymas skysčių mechanikoje.

FrontISTR konstrukcijų analizė iš esmės remiasi materialiuoju aprašymu, tačiau Updated Lagrange metode taip pat naudojami erdvinio aprašymo dydžiai, nes dabartinė konfigūracija pasirenkama kaip nauja atskaitos konfigūracija.

Poslinkis, greitis ir pagreitis¶

Kaip nurodyta ankstesniame skyriuje, poslinkis \(\boldsymbol{u}\) apibrėžiamas \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Jo dydžiui jokia prielaida netaikoma, todėl apimamos ir baigtinės deformacijos. Greičio ir pagreičio vektoriai apibrėžiami kaip materialiosios \(\boldsymbol{u}\) laiko išvestinės, laikant materialųjį tašką fiksuotą:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Šios lygtys apibrėžia greitį ir pagreitį.

Deformacijos gradientas ir deformacijos tenzoriai¶

Deformacijos gradiento tenzorius¶

Pagrindinis baigtinių deformacijų kontinuumo mechanikos dydis yra deformacijos gradiento tenzorius \(\boldsymbol{F}\). Tai tiesinis atvaizdis, kuris atskaitos konfigūracijos nykstamai mažą atkarpą \(d\boldsymbol{X}\) perkelia į dabartinės konfigūracijos nykstamai mažą atkarpą \(d\boldsymbol{x}\), ir jis apibrėžiamas kaip judėjimo atvaizdžio gradientas materialiųjų koordinačių atžvilgiu:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Taip apibrėžus (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), nedeformuotoje būsenoje \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) plačiai naudojamas deformacijos ir įtempio matams apibrėžti bei fizikiniams dydžiams transformuoti tarp konfigūracijų.

Tūrio santykis¶

Atskaitos konfigūracijos nykstamai mažo tūrio \(dV\) ir jį atitinkančio dabartinės konfigūracijos nykstamai mažo tūrio \(dv\) santykis vadinamas tūrio santykiu \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Kontinuumo apgręžiamumui būtina \(J > 0\). Masės tvermė išreiškiama \(\rho_0 = J\rho\).

Dešinysis ir kairysis Cauchy–Greeno deformacijos tenzoriai¶

Kadangi deformacijos gradientas \(\boldsymbol{F}\) apima standžiojo kūno sukimą, pačios deformacijos matai sudaromi iš dydžių, iš kurių standžiojo kūno sukimasis pašalintas. Dešinysis Cauchy–Greeno deformacijos tenzorius \(\boldsymbol{C}\) (atskaitos konfigūracija) ir kairysis Cauchy–Greeno deformacijos tenzorius \(\boldsymbol{b}\) (dabartinė konfigūracija) apibrėžiami taip:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Abu yra simetriniai tenzoriai ir turi tas pačias savąsias reikšmes (pagrindinių pailgėjimų kvadratus). Hiperelastinių deformacijos energijos funkcijų pagrindiniai invariantai išreiškiami šiais tenzoriais.

Deformacijų tenzoriai¶

Greeno–Lagranžo deformacijos tenzorius¶

Kaip atskaitos konfigūracijos atžvilgiu apibrėžiamas deformacijos matas, Greeno–Lagranžo deformacijos tenzorius \(\boldsymbol{E}\) apibrėžiamas

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Tai simetrinis tenzorius, nusakantis nykstamai mažų vektorių skaliarinės sandaugos pokytį atskaitos konfigūracijoje; jis nekinta esant standžiojo kūno sukimui ir nedeformuotoje būsenoje tenkina \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Naudojant \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) gaunama

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Tai deformaciją išreiškia kaip pirmosios ir antrosios eilės poslinkio gradiento narių sumą; antrosios eilės narys nusako geometrinį netiesiškumą. Total Lagrange metode jis naudojamas darbui konjuguotoje poroje \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi deformacijos tenzorius¶

Kaip dabartinės konfigūracijos atžvilgiu apibrėžiamas deformacijos matas, Almansi deformacijos tenzorius \(\boldsymbol{e}\) apibrėžiamas

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Su Greeno–Lagranžo deformacija jis susijęs ryšiu \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Mažųjų deformacijų tenzorius¶

Kai poslinkio gradientas mažas (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Greeno–Lagranžo deformacijos antrosios eilės narį galima atmesti. Kadangi tada dviejų konfigūracijų skirtumas išnyksta, deformacija redukuojama į mažųjų deformacijų tenzorių \(\boldsymbol{\varepsilon}\), o gradientas rašomas erdvinėmis koordinatėmis:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR šį deformacijos matą naudoja tiesinei statinei analizei, modalinei analizei, dažninio atsako analizei ir tiesinei dinaminei analizei. Baigtinių deformacijų analizėje Total Lagrange metodas naudoja \(\boldsymbol{E}\), o Updated Lagrange metodas — dabartinės konfigūracijos atžvilgiu apibrėžtą deformacijos greičio tenzorių \(\boldsymbol{D}\).