Pažangios elementų formuluotės¶

Standartinė poslinkiais pagrįsta formuluotė, pateikta skyriuje 3D tūrinių elementų formuluotė, taikoma beveik nesuspaudžiamoms medžiagoms ar lenkimo dominuojamoms plonasienėms konstrukcijoms, gali rodyti nepagrįstai didelį standumą, vadinamą blokavimu (tūrio blokavimu arba šlyties blokavimu). Siekiant to išvengti, FrontISTR turi B-bar ir F-bar metodus, keičiančius tik B matricos arba deformacijos gradiento tūrinę dalį; nesuderinamuosius elementus su vidiniais laisvės laipsniais; u-p mišriuosius elementus, kuriuose slėgis yra nepriklausomas nežinomasis laukas; bei MITC apvalkalo ir sijos elementus, skirtus plokščių ir sijų konstrukcijoms.

Šiame skyriuje šių pažangių ir konstrukcinių elementų formuluotės apibendrinamos pagal elementų tipus.

B-bar metodas¶

Kai 8 mazgų tiesinis šešiasienis elementas naudojamas beveik nesuspaudžiamai medžiagai, deformacijų laukas viename elemente gali prieštarauti pastovaus tūrio suvaržymui, todėl atsiranda nepagrįstai didelis standumas, vadinamas tūrio blokavimu. B-bar metodas sumažina šį perteklinį suvaržymą, tūrinį plėtimąsi lemiančius B matricos komponentus pakeisdamas elemento centre įvertintomis reikšmėmis [Hughes1980].

Tegu elemento centre \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) iš formos funkcijų erdvinių išvestinių apskaičiuota B matrica yra \(\bar{\boldsymbol{B}}\), o integravimo taške \(\boldsymbol{r}\) apskaičiuota įprastinė B matrica – \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Mazgo \(\alpha\) laisvės laipsnio \(i\) poslinkio ir deformacijos ryšyje tūrinės deformacijos komponentams \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) pridedama

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

o šlyties komponentams \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) naudojama įprastinė \(\boldsymbol{B}\). Naudojant taip gautą B-bar matricą surenkami elemento standumas ir vidinių jėgų vektorius.

FrontISTR šią formuluotę teikia tik 8 mazgų tiesiniam šešiasieniui elementui (elemento ID 361; žr. Elementų numeravimo sistema); ji gali būti taikoma mažųjų deformacijų, Total Lagrange ir Updated Lagrange formuluotėms.

F-bar metodas¶

Esant baigtinėms deformacijoms, tūrio pokytis netiesiškai veikia per deformacijos gradientą \(\boldsymbol{F}\), todėl F-bar metodas [deSouzaNeto1996] tūrio blokavimo mažinimą, analogišką B-bar metodui, taiko deformacijos gradiento lygmeniu.

Tegu elemento centre \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) įvertinto deformacijos gradiento tūrio santykis yra \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), o integravimo taške – \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Integravimo taško deformacijos gradientas pakeičiamas

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Taip gaunama \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), todėl tūrio santykis visame elemente prilyginamas elemento centro reikšmei. Pakeistas \(\bar{\boldsymbol{F}}\) naudojamas įtempiams įvertinti ir deformacijos bei poslinkio ryšio matricai sudaryti, o elemento liestinis standumas surenkamas įtraukiant papildomus narius, atsirandančius dėl šio pakeitimo.

FrontISTR F-bar metodą įgyvendina tik 8 mazgų tiesiniam šešiasieniui elementui; jis gali būti taikomas mažųjų deformacijų bei Total Lagrange / Updated Lagrange netiesinei geometrijai.

Nesuderinamieji elementai¶

8 mazgų tiesinis šešiasienis elementas neturi lenkimo modams reikalingų deformacijos laisvės laipsnių ir lenkimo dominuojamuose uždaviniuose patiria lenkimo blokavimą. Nesuderinamieji elementai [Taylor1976] šiam trūkumui kompensuoti elemento viduje įveda papildomus poslinkio modus.

Be elemento mazginių poslinkių \(\boldsymbol{u}^e\), kiekvienam elementui įvedami tik jo viduje egzistuojantys nesuderinamųjų modų laisvės laipsniai \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) – 3 kryptys × 3 modai – ir poslinkio laukas aproksimuojamas

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Natūraliosioms koordinatėms \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) nesuderinamosios formos funkcijos pasirenkamos \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) ir \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Jos negarantuoja tęstinumo per elementų ribas, tačiau elemento viduje prideda erdvę, galinčią atkurti lenkimo modų deformacijas.

Elemento standumas pirmiausia surenkamas išorinių ir vidinių laisvės laipsnių blokine forma

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Surinkus šia forma, atliekama statinė kondensacija: vidiniai laisvės laipsniai eliminuojami pagal \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), gaunant tik išorinių laisvės laipsnių elemento standumą

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

kuris perduodamas į bendrąjį surinkimą.

FrontISTR nesuderinamąjį elementą įgyvendina tik 8 mazgų tiesiniam šešiasieniui elementui (C3D8IC); jis gali būti taikomas mažųjų deformacijų, Total Lagrange ir Updated Lagrange formuluotėms.

U-P mišrieji elementai¶

B-bar ir F-bar metodai koreguoja tūrinį komponentą poslinkiais pagrįstoje sistemoje, o u-p mišrusis (U-P) elementas naudoja mišrią formuluotę [Bathe1996], kurioje slėgis \(\lambda\) įvedamas kaip nuo poslinkio nepriklausomas nežinomasis laukas. Beveik nesuspaudžiamose medžiagose, pvz., gumos tipo medžiagose, kurių Poisson koeficientas labai artimas 0.5, arba metaluose po plastinės deformacijos, bandymas tenkinti pastovaus tūrio suvaržymą vien poslinkio lauku sukelia tūrio blokavimą; slėgį traktuojant kaip nepriklausomą kintamąjį šis suvaržymas sušvelninamas.

Įtempis atskiriamas į deviatorinę ir slėgio dalis:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Čia \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) yra deviatorinė tamprumo matrica, gaunama iš tamprumo matricos pašalinus tūrinę dalį, proporcingą tūrinio tamprumo moduliui \(K\). Slėgis \(\lambda\) ir tūrinė deformacija \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) susieti suvaržymo lygtimi per spūdumą \(\alpha^{-1} = 1/K\):

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizavus su poslinkiu \(\boldsymbol{u}\) ir slėgiu \(\lambda\) kaip nežinomaisiais, gaunama susieta elemento sistema

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

čia \(\mathbf{K}_{uu}\) apima deviatorinę tamprumo dalį ir, esant baigtinei deformacijai, geometrinį standumą; \(\mathbf{K}_{up}\) susieja tūrinę deformaciją ir slėgį; o \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) yra slėgio stabilizavimo narys (\(\boldsymbol{N}_p\) – slėgio formos funkcija). Kadangi slėgio laisvės laipsniai yra elemento vidiniai,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

atliekama tokios formos statinė kondensacija ir į bendrąjį surinkimą perduodamas efektyvus standumas, apimantis tik išorinius (poslinkio) laisvės laipsnius.

FrontISTR U-P elementą įgyvendina tik 8 mazgų tiesiniam šešiasieniui elementui, po vieną slėgio laisvės laipsnį elementui (pastovų elemento viduje). Jis gali būti taikomas mažųjų deformacijų, Total Lagrange ir Updated Lagrange formuluotėms. Updated Lagrange atveju deviatorinis įtempis atnaujinamas naudojant objektyvų įtempių greitį (Jaumann / Hughes-Winget tipo), o tada slėgis \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) pritaikomas pagal statine kondensacija gautą reikšmę.

Apvalkalo elementai¶

Plonasienėms plokščių ir apvalkalų konstrukcijoms naudojami Reissner-Mindlin plokštės / apvalkalo teorija pagrįsti elementai. Mažėjant storiui, žemos eilės poslinkiais pagrįsti plokštės / apvalkalo elementai dėl mechanizmo, analogiško tūrio blokavimui (šlyties blokavimo), pervertina skersinę šlyties deformaciją ir lenkimo modų standumas pernelyg padidėja. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) metodas [Dvorkin1984] [Bathe1986] šios problemos išvengia, perskaičiuodamas tik šlyties deformacijos komponentus iš anksto nustatytuose elemento susiejimo taškuose ir vėl interpoliuodamas gautas reikšmes visame elemente.

MITC apvalkalo elemento mazgai yra viduriniame paviršiuje, o kiekvienas mazgas turi šešis laisvės laipsnius: tris slinkties komponentus ir tris sukimosi komponentus apie vidurinio paviršiaus normalės koordinačių sistemą. Elemento standumas įvertinamas trimatiniu Gauss integravimu pagal vidurinio paviršiaus natūraliąsias koordinates ir storio kryptį, o storis \(h\) konstitutyvinio skaičiavimo metu pateikiamas kaip elemento savybė.

FrontISTR teikia vienu vidurinio paviršiaus sluoksniu vaizduojamus MITC3 (elemento ID 731), MITC4 (741) ir MITC9 (743), taip pat sluoksniuotus apvalkalo elementus MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 mazgų, po 3 laisvės laipsnius mazgui) ir MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 mazgų, po 3 laisvės laipsnius mazgui), kurių mazgai per storį išdėstyti dviem sluoksniais. Sluoksniuotuose apvalkalo elementuose mazgų laisvės laipsniai yra tik trys slinkties komponentai, o lenkimo modai, atitinkantys sukimosi laisvės laipsnius, išreiškiami dviejų sluoksnių išdėstymu.

Sijos elementai¶

Linijiniai konstrukcijų nariai, pvz., sijos ir karkaso elementai, diskretizuojami sijos elementais. FrontISTR naudoja Timoshenko sijos formuluotę, atsižvelgiančią į šlyties deformaciją ir išreiškiančią lenkimą bei šlytį kaip slinkties ir sukimosi laisvės laipsnių funkcijas.

Kiekvienas sijos mazgas turi šešis laisvės laipsnius: tris slinkties komponentus ir tris sukimosi komponentus apie sijos ašį bei skersines ašis. Elemento standumas įvertinamas vienmačiu skaitiniu integravimu išilgai sijos ašies. Skerspjūvio plotas \(A\) ir antrojo ploto momento reikšmės \(I\) lenkimo ir sukimo kryptimis pateikiami kaip sijos skerspjūvio savybės; kartu su medžiagos Young moduliu \(E\) ir šlyties moduliu \(G\) jie apibrėžia ašinį, lenkimo, sukimo ir šlyties standumą.

FrontISTR teikia 2 mazgų tiesinį sijos elementą (elemento ID 611) ir 4 mazgų tetraedrinį tūrinį-sijos hibridinį elementą, vaizduojamą 3 mazgais (641, mišriems laisvės laipsniams).

Susijusios temos¶

3D tūrinių elementų formuluotė — palyginimas su standartine formuluote
Elementų numeravimo sistema ir formos funkcijų biblioteka — elementų tipų ID
Elementų biblioteka (funkcijos) — kiekvieno elemento pasirinkimo gairės