3D tūrinių elementų formos funkcijos¶

Šiame skyriuje apibendrinamos natūraliųjų koordinačių sistemos ir aiškūs formos funkcijų \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), įvestų skyriuje Formos funkcijos ir baigtinių elementų aproksimacija, pavidalai trimatėms tūrinėms baigtinių elementų rūšims, kurias FrontISTR naudoja kontinuumo analizėje. Šeši elementų tipai yra pirmosios / antrosios eilės tetraedrai (341/342), pirmosios / antrosios eilės trikampės prizmės (351/352) ir pirmosios / antrosios eilės heksaedrai (361/362). Mazgų išdėstymo tvarką ir paviršių numerius HEC-MW tinklo formatu žr. funkcijų žinyne Elementų biblioteka.

Elemento integravimo sudarymo iš šių formos funkcijų ir Jakobiano determinanto procedūra aprašyta skyriuje Skaitinis integravimas. Elemento 361 B-bar, F-bar ir nesuderinamos formuluotės, taip pat sijų ir kevalų elementų formos funkcijos nagrinėjamos skyriuje Išplėstinės elementų formuluotės.

Natūraliųjų koordinačių sistemos ir vidinė mazgų tvarka¶

Formos funkcijos apibrėžiamos kiekvieno elemento natūraliosiomis koordinatėmis \(\boldsymbol{r}\). Trimačiai tūriniai elementai pagal elemento formą naudoja šias tris natūraliųjų koordinačių sistemas.

Heksaedrai (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
Tetraedrai (341/342): tūrinės koordinatės \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), kur \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) ir \(L_i \ge 0\). Nepriklausomais kintamaisiais laikant \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), gaunama \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
Trikampės prizmės (351/352): pagrindo trikampio tūrinės koordinatės \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) derinamos su ašine koordinate \(\zeta \in [-1, 1]\), sudarant \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Pagalbinis dydis \(a = 1 - \xi - \eta\) naudojamas kaip trečioji pagrindo tūrinė koordinatė.

Pirmosios eilės elementams elementų mazgų numeravimo tvarka HEC-MW įvesties formate ir vidiniame formate sutampa. Antrosios eilės elementams kraštinių vidurio mazgų išdėstymo susitarimai skiriasi. FrontISTR kaip įvestį priima HEC-MW formatą (kampiniai mazgai išvardijami aplink elementą, po jų kraštinių vidurio mazgai kraštinių tvarka 1-2, 2-3, …), o elementų bibliotekoje formos funkcijos realizuotos darant prielaidą apie kitokią mazgų tvarką.

Dviejų formatų skirtumą išsprendžia iškart po tinklo įvesties iškviečiamas hecmw2fstr_mesh_conv, kuris pertvarko kiekvieno elemento mazgus. Iš trimačių tūrinių elementų konvertuojami šie du tipai.

Elemento tipas	Konvertavimo lentelė	Aprašymas
342 (antrosios eilės tetraedras)	`Table342`	10 mazgų pertvarkomi į \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (antrosios eilės trikampė prizmė)	`Table352`	15 mazgų pertvarkomi į \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Kadangi pertvarkymas atliekamas tiesiogiai masyve, kuriame saugomas elementų junglumas, visi tolesni elementų bibliotekos iškvietimai naudoja FrontISTR vidinę mazgų tvarką. Antrosios eilės heksaedriniam elementui 362 konvertavimo lentelės nėra, nes kraštinių vidurio mazgų tvarka HEC-MW įvestyje ir FrontISTR vidiniame formate sutampa. Išvedant rezultatus atvirkštinis konvertavimas fstr2hecmw_mesh_conv prieš įrašymą atkuria HEC-MW mazgų tvarką, todėl naudotojams tiek įvestyje, tiek išvestyje pakanka žinoti HEC-MW formatą. Toliau pateiktų formos funkcijų mazgų numeriai atitinka konvertuotą FrontISTR vidinį formatą.

Pirmosios eilės elementų formos funkcijos¶

Pirmosios eilės tetraedrinio elemento (341) formos funkcijos yra pačios tūrinės koordinatės:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Pirmosios eilės trikampės prizmės elemento (351) formos funkcijos yra pagrindo trikampio tiesinių formos funkcijų (\(a, \xi, \eta\)) ir ašinių tiesinių formos funkcijų (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) sandaugos:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Pirmosios eilės heksaedrinio elemento (361) formos funkcijos yra tiesinių formos funkcijų trijose koordinačių kryptyse tenzorinės sandaugos:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Čia \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) yra mazgo \(\alpha\) natūraliųjų koordinačių reikšmės (kiekviena komponentė lygi \(\pm 1\)).

Antrosios eilės elementų formos funkcijos¶

Antrosios eilės tetraedrinio elemento (342) formos funkcijos skirstomos į keturis kampinius ir šešis kraštinių vidurio mazgus:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Kraštinių vidurio mazgai 5–10 atitinkamai atitinka kraštinių 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 ir 3-4 vidurio taškus.

Antrosios eilės trikampės prizmės elementą (352) sudaro šeši kampiniai mazgai, šeši kraštinių vidurio mazgai trikampiuose paviršiuose ir trys kraštinių vidurio mazgai ašinėse kraštinėse:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Kraštinių vidurio mazgai 7–9 atitinka apatinio trikampio (\(\zeta = -1\)) kraštinių vidurio taškus, mazgai 10–12 — viršutinio trikampio (\(\zeta = +1\)) kraštinių vidurio taškus, o mazgai 13–15 — ašinių kraštinių vidurio taškus.

Antrosios eilės heksaedrinis elementas (362) yra 20 mazgų Serendipity šeimos elementas. Tegu mazgo \(\alpha\) natūraliųjų koordinačių reikšmės yra \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Kampiniams mazgams (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), kiekviena komponentė \(\pm 1\)):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Kraštinių vidurio mazgams (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), kai viena iš trijų natūraliųjų koordinačių lygi \(0\), o kitos dvi — \(\pm 1\)), mazgams su \(\xi_\alpha = 0\) (kraštinės orientuotos \(\xi\) kryptimi) galioja

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Kraštinių vidurio mazgams, kurių kraštinės kryptis sutampa su \(\eta\) arba \(\zeta\) ašimi, formos funkcija gaunama analogiškai, atitinkamą natūraliąją koordinatę pašalinant kvadratiniu nariu.

Susijusios temos¶

Formos funkcijos ir baigtinių elementų aproksimacija — formos funkcijų \(N_\alpha^e\) matematinis apibrėžimas
Formos funkcijų erdvinės išvestinės — formos funkcijų išvestinės globaliosiomis koordinatėmis ir Jakobianas
Skaitinis integravimas — integravimo taškai, svoriai ir apytikslis elemento integravimas
Išplėstinės elementų formuluotės — B-bar, F-bar, nesuderinami elementai, kevalai ir sijos
Elementų biblioteka (funkcijos) — mazgų tvarka ir paviršių numeriai HEC-MW formatu
Fizikinių dydžių simbolių sąrašas