Skaitinis integravimas¶

Vidinio virtualiojo darbo diskretizavime ir Išorinis virtualusis darbas ir globaliosios lygties surinkimas gauti elemento vidinių jėgų vektoriai \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ir elemento standumo matrica \(\boldsymbol{K}^e\) yra integralai elemento srityje \(\Omega^e\) arba \(\Omega^e_0\). FrontISTR juos skaitiniu būdu apskaičiuoja taikydamas Gauso kvadratūrą.

Gauso kvadratūra ir kintamųjų pakeitimas¶

Gauso kvadratūra atskaitos srities \(\Xi\) integralą aproksimuoja integrando reikšmių integravimo taškuose \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) ir svorių \(w_i\) tiesiniu deriniu. Pritaikius ją elemento sričiai \(\Omega^e\), atliekamas kintamųjų pakeitimas pagal atvaizdį \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\):

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

čia \(n_q\) yra integravimo taškų skaičius, o \(J_{\xi_i}\) – transformacijos Jakobiano determinantas. Atskaitos sritis \(\Xi\) apibrėžiama kiekvienam elemento tipui (heksaedrui – \([-1,1]^3\); trikampiams, tetraedrams ir pleištams – atitinkamos atskaitos formos), o integravimo taškai \(\boldsymbol{\xi}_i\) ir svoriai \(w_i\) pateikiami skaitinėse lentelėse. Paviršiaus integralai apdorojami analogiškai, elemento sieną atvaizduojant iš dvimatės atskaitos srities.

Toliau pateikiami tipiški FrontISTR naudojamų integravimo taškų skaičiai (jų atitikimą elementų tipams žr. Elementų numeravimo sistema ir formos funkcijų biblioteka).

Elemento tipas	Kvadratūros taisyklė	Integravimo taškų skaičius
4 mazgų tetraedras (`tet4n`)	1 taško taisyklė	1
10 mazgų tetraedras (`tet10n`)	4 taškų taisyklė	4
6 mazgų trikampė prizmė (`prism6n`)	2 taškų taisyklė	2
15 mazgų trikampė prizmė (`prism15n`)	9 taškų taisyklė	9
8 mazgų heksaedras (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20 mazgų heksaedras (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4 mazgų keturkampis (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8 mazgų keturkampis (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3 mazgų trikampis (`tri3n`)	1 taško taisyklė	1
6 mazgų trikampis (`tri6n`)	3 taškų taisyklė	3

Heksaedro, keturkampio ir linijiniams elementams naudojami Gauso–Legendre'o taisyklės tenzoriniai sandaugos kiekviena koordinačių kryptimi. Trikampiams, tetraedrams ir trikampėms prizmėms naudojamos specialios simplekso tipo geometrijai pritaikytos taisyklės (taškų išdėstymai, tiksliai integruojantys polinomus pačiame trikampyje).

Taikymas elemento integravimui¶

Elemento integravime natūraliosios koordinatės \(\boldsymbol{r}\) naudojamos kaip atskaitos srities koordinatės (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), o atvaizdis į fizines koordinates gaunamas interpoliuojant mazgų koordinates formos funkcijomis. Atsižvelgiant į atskaitos konfigūracijos pasirinkimą (Prieauginės analizės sistema), naudojamos šios formuluotės.

Totalinis Lagranžo metodas (integravimas atskaitos konfigūracijoje \(\Omega^e_0\)): atvaizdis ir Jakobianas yra

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

o elemento vidinė jėga ir standumo matrica aproksimuojamos taip:

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Visi \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) įvertinami integravimo taške \(\boldsymbol{r}_i\).

Atnaujintas Lagranžo metodas (integravimas dabartinėje konfigūracijoje \(\Omega^e\)): atvaizdis ir Jakobianas yra

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ir taikomos aproksimacijos

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Taip aproksimuojama.

Vienintelis skirtumas tarp šių dviejų formuluočių yra tai, ar atvaizdžiui pateikiamos mazgų koordinatės \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\), ar \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integravimo taškai, svoriai ir integravimo taškų ciklo struktūra yra bendri.

Pilnasis ir sumažintasis integravimas¶

Integravimas, kuriame naudojamas toks integravimo taškų skaičius, kad integrando polinomo laipsnis būtų integruojamas tiksliai, vadinamas pilnuoju integravimu, o integravimas naudojant viena pakopa mažiau taškų – sumažintuoju integravimu. Sumažintasis integravimas naudojamas šlyties ir tūrinio blokavimo poveikiui mažinti, tačiau reikia spręsti parazitinių deformacijos modų, pvz., „smėlio laikrodžio“ modų, problemą. Kiekvieno elemento tipo integravimo taškų skaičius ir pilnojo ar sumažintojo integravimo pasirinkimas nagrinėjami Elementų numeravimo sistema ir formos funkcijų biblioteka ir tolesniuose skyriuose, taip pat Pažangios elementų formuluotės.

Susijusios temos¶

Formos funkcijų erdvinės išvestinės — Jakobiano skaičiavimas
Vidinio virtualiojo darbo diskretizavimas — skaitiniu integravimu vertinami dydžiai
Pažangios elementų formuluotės — sumažintojo integravimo naudojimas