Pereiti prie turinio

Išorinių jėgų virtualusis darbas ir globaliųjų lygčių surinkimas

Skyriuje Vidinių jėgų virtualiojo darbo diskretizavimas silpnosios formos kairioji pusė buvo suvestą į elemento vidinių jėgų vektorių \(\boldsymbol{q}^e\) (UL metodas) arba \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL metodas). Šiame skyriuje iš išorinių jėgų virtualiojo darbo įvedamas elemento mazginių išorinių jėgų vektorius \(\boldsymbol{F}^e\), tada taikoma surinkimo operacija, kuri elemento mazginius dydžius pertvarko ir sumuoja pagal globaliuosius mazgų numerius, o galiausiai gaunama netiesinių lygčių sistema mazginių poslinkių atžvilgiu, kurią sprendžia FrontISTR netiesinė konstrukcijų analizė.

Išorinių jėgų virtualiojo darbo skaidymas į elementus

Virtualiojo darbo principo dešiniąją pusę galima suskaidyti pagal elementus į išorinių jėgų virtualųjį darbą, sudarytą iš tūrinių jėgų ir nustatytų paviršinių traukų mechaninėse ribose. Kad Formos funkcijose ir baigtinių elementų aproksimacijoje įvestą poslinkių interpoliaciją būtų galima užrašyti matriciniu pavidalu, mazgo \(\alpha\) formos funkcijai \(N_\alpha^e\) apibrėžkime įstrižinį \(d \times d\) bloką \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ir iš jų horizontaliai sudarykime \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), kad \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Įstačius tai į atskaitos konfigūracijoje užrašytą išorinių jėgų virtualųjį darbą gaunama

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

čia elemento mazginių išorinių jėgų vektorius išdėstomas kaip \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Taigi išorinių jėgų virtualusis darbas suvedamas į tokį pat „elemento mazginis vektorius × bandymo funkcija“ pavidalą kaip ir vidinių jėgų pusė (rašant dabartinėje konfigūracijoje gaunamas tas pats pavidalas, atlikus pakeitimus \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) ir \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Elemento mazginių dydžių surinkimas

Kiekvienam elementui gauti mazginiai dydžiai \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) sumuojami į globaliuosius vektorius, išdėstytus pagal globaliuosius mazgų numerius. Tegu elemento \(\Omega^e\) lokalųjį mazgo numerį \(\alpha\) atitinkantis globalusis mazgo numeris yra

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Tada elemento mazginis dydis sutampa su atitinkama globaliojo mazginio dydžio komponente (pavyzdžiui, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Kadangi mazgas \(i_g\) paprastai priklauso keliems elementams, surinkime visas poras, kurių globalusis mazgo numeris yra \(i_g\), t. y. \((e, \alpha)\), į aibę

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Naudojant šią aibę ir perrašant sumą kaip \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), gaunama mazginė vidinė jėga ir globalusis vidinių jėgų vektorius visiems \(n_g\) mazgams:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Čia \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) yra elemento mazginių vidinių jėgų, veikiančių mazge \(i_g\), atstojamoji; kai išorinė jėga neveikia ir tenkinama pusiausvyra, ji lygi \(\boldsymbol{0}\). Ta pati procedūra UL metode duoda \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); kadangi jų skaitinės reikšmės tenkina \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), toliau, išskyrus atvejus, kai reikia jas atskirti, naudojamas žymėjimas \(\boldsymbol{Q}\). Globalusis išorinių jėgų vektorius \(\boldsymbol{F}\) gaunamas tokiu pat sumavimu.

Realizacijoje aibė \(\mathcal{E}(i_g)\) nėra sudaroma tiesiogiai; vietoje to įnašai pridedami prie atitinkamų komponenčių elemento ciklo viduje.

Inicializuoti globalųjį vidinių jėgų vektorių Q nuliu: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 iki (elementų skaičius)
    for α = 1 iki n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Globalusis išorinių jėgų vektorius \(\boldsymbol{F}\) sudaromas ta pačia procedūra. Ši elemento mazginių dydžių pridėjimo ir saugojimo vektoriuose bei matricose, sunumeruotuose globaliaisiais mazgų numeriais, operacija vadinama surinkimu. Antros eilės tenzoriams, susietiems su dviem mazgų numeriais (pvz., standumo matricoms), toks pats surinkimas gaunamas naudojant aibę \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (konkretų sudarymą žr. Tangentinio standumo matrica).

Spręstinos netiesinės lygtys

Įstačius surinktas vidines ir išorines jėgas į Virtualiojo darbo principą ir pasinaudojus tuo, kad jis galioja bet kuriai geometrines kraštines sąlygas tenkinančiai bandymo funkcijai \(\delta\boldsymbol{u}^n\), gaunama

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Inkrementinės analizės kontekste (Inkrementinės analizės schema) grąžinkime laiko indeksą \(_{n+1}\) ir praleiskime viršutinį indeksą \(^n\), žymintį globalųjį mazginį vektorių. Tada spręstina lygtis yra

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Taigi diskretizuotas kraštinis uždavinys, kuriame laiku \(t_{n+1}\) ieškomas mazginis poslinkis \(\boldsymbol{u}_{n+1}\), suvedamas į šios netiesinės poslinkių lygties sprendimą kartu su geometrinėmis kraštinėmis sąlygomis. Lygties linearizavimas ir tangentinio standumo matricos sudarymas aprašyti Tangentinio standumo matricoje, o iteracinis sprendimo metodas — Newtono–Raphsono metode.

Susijusios temos

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status