Vidinių jėgų virtualiojo darbo diskretizavimas¶

Prieauginės analizės sistemoje pateikta virtualiojo darbo lygtis laiku \(t + \Delta t\) pagal atskaitos konfigūracijos pasirinkimą skirstoma į dvi formas: Updated Lagrange ir Total Lagrange. Šiame skyriuje naudojamas baigtinių elementų artinys, įvestas skyriuose Formos funkcijos ir baigtinių elementų artinys ir Formos funkcijų erdvinės išvestinės, kad būtų erdviškai diskretizuotas abiejų formuluočių vidinių jėgų virtualusis darbas ir gauti elemento vidinių jėgų vektoriai \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) ir \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Elemento \(e\) sudedamieji mazgai žymimi \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), jų poslinkiai – \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), o elemento mazginių poslinkių vektorius išdėstomas kaip \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Virtualusis poslinkis \(\delta \boldsymbol{u}^e\) apibrėžiamas ta pačia tvarka. Poslinkis elemento viduje interpoliuojamas formos funkcijomis: \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Vidinių jėgų virtualusis darbas Updated Lagrange formuluotėje¶

Updated Lagrange formuluotėje laikas \(t\) apibrėžia dabartinę konfigūraciją \({}^{t}\Omega\), kuri naudojama kaip atskaitos konfigūracija, o vidinių jėgų virtualusis darbas išreiškiamas Cauchy įtempiu \(\boldsymbol{\sigma}\) ir tiesine Almansi deformacijos dalimi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\):

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Kiekvieną \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) komponentą galima išreikšti formos funkcijų dabartinės konfigūracijos koordinatės \(\boldsymbol{x}\) atžvilgiu išvestinės \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ir mazginių virtualiųjų poslinkių \(\delta u^e_{i\alpha}\) tiesine kombinacija. Voigt žymėjimu tai galima sujungti taip:

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Mazginis blokas \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) yra iš \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) pagal Voigt taisyklę sudaryta \(6 \times 3\) matrica, o \(\boldsymbol{B}_L\) yra UL formuluotės deformacijos ir poslinkio ryšio matrica. Įstačius tai į vidinių jėgų virtualųjį darbą ir iškėlus \(\delta \boldsymbol{u}^e\), gaunama

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Vektoriaus \(\boldsymbol{q}^e\) mazginis blokas \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) yra elemento \(\Omega^e\) vidinė jėga, veikianti sudedamąjį mazgą \(\alpha\).

Vidinių jėgų virtualusis darbas Total Lagrange formuluotėje¶

Total Lagrange formuluotėje pradinė konfigūracija \(\Omega_0\) naudojama kaip atskaitos konfigūracija, o vidinių jėgų virtualusis darbas išreiškiamas antrojo Piola-Kirchhoff įtempiu \(\boldsymbol{S}\) ir Green-Lagrange deformacija \(\boldsymbol{E}\):

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variacija \(\delta \boldsymbol{E}\) skirstoma į virtualiojo poslinkio atžvilgiu tiesinį narį ir netiesinį narį, kuriame yra sandaugų su dabartiniu poslinkio gradientu \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Tiesinį narį galima užrašyti taikant tą pačią išdėstymo taisyklę kaip UL formuluotėje dydžiui \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), gaunant mazginį bloką \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Dėl skirtingos atskaitos konfigūracijos tik sudedamosios išvestinės \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) pakeičiamos į \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); naudojamas tas pats simbolis kaip UL formuluotėje. Netiesiniame naryje dabartinio poslinkio gradiento \(\partial u_k/\partial X_j\) ir \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) sandaugos išdėstomos pagal Voigt taisyklę ir sudaromas mazginis blokas \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Taigi \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), o \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) yra TL formuluotės deformacijos ir poslinkio ryšio matrica. Įstačius tai į vidinių jėgų virtualųjį darbą gaunama

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Mazginis blokas \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) yra elemento \(\Omega^e_0\) vidinė jėga, veikianti sudedamąjį mazgą \(\alpha\).

UL/TL atitiktis ir skaičiavimo eiga¶

Updated Lagrange ir Total Lagrange formuluočių elemento vidinių jėgų vektoriai atitinka vienas kitą taip.

Elementas	Updated Lagrange formuluotė	Total Lagrange formuluotė
Atskaitos konfigūracija	Dabartinė konfigūracija \({}^{t}\Omega^e\)	Pradinė konfigūracija \(\Omega^e_0\)
Įtempių tenzorius	Cauchy įtempis \(\boldsymbol{\sigma}\)	Antrasis PK įtempis \(\boldsymbol{S}\)
Deformacijos variacija	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B matrica	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Elemento vidinė jėga	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Abiem atvejais taikoma ta pati procedūra: iš formos funkcijų erdvinių išvestinių sudaroma \(\boldsymbol{B}_L\); TL formuluotėje iš dabartinio poslinkio gradiento sudaroma ir pridedama \(\boldsymbol{B}_{NL}\); įtempis (\(\boldsymbol{\sigma}\) arba \(\boldsymbol{S}\)) atnaujinamas pagal konstitutyvinį dėsnį; integravimo taškuose per elemento sritį skaitmeniškai integruojama \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) arba \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) (Skaitinis integravimas). Išskyrus atskaitos konfigūracijos perjungimą (mazgų koordinates ir \(\boldsymbol{B}\) matricos sudarymą) bei įtempių tenzoriaus pakeitimą, apdorojimas yra bendras, todėl FrontISTR abiejų formuluočių vidinių jėgų skaičiavimus įgyvendina bendrose paprogramėse. Elemento vidinių jėgų vektorių \(\boldsymbol{q}^e\) ir \(\boldsymbol{Q}^e\) surinkimas į bendrąjį vidinių jėgų vektorių nagrinėjamas skyriuje Išorinių jėgų virtualusis darbas ir bendrųjų lygčių surinkimas.

Susijusios temos¶

Virtualiojo darbo principas — pradinė lygtis
Prieauginės analizės sistema — TL/UL šakų apibrėžimas
Formos funkcijų erdvinės išvestinės — B matricos sudedamosios dalys
Išorinių jėgų virtualusis darbas ir bendrųjų lygčių surinkimas — į bendrąjį vidinių jėgų vektorių
Liestinė standumo matrica — tiesinimas pagal vidinės jėgos laiko išvestinę
Fizikinių dydžių simbolių sąrašas