Formos funkcijų erdvinės išvestinės¶

Formos funkcijų ir baigtinių elementų aproksimacijos skyriuje įvestos formos funkcijos \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) pateikiamos kaip elemento vietinių – natūraliųjų – koordinačių \(\boldsymbol{r}\) funkcijos. Tačiau per deformacijos ir poslinkio ryšį silpnosios formos integranduose atsiranda dalinės išvestinės fizikinių koordinačių atžvilgiu (atskaitos konfigūracijos \(\boldsymbol{X}\) arba dabartinės konfigūracijos \(\boldsymbol{x}\)), t. y. \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) arba \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Šiame skyriuje apibendrinama, kaip iš elemento mazgų koordinačių ir išvestinių natūraliųjų koordinačių atžvilgiu apskaičiuoti šias formos funkcijų erdvines išvestines.

Erdvinių išvestinių išraiška taikant grandinės taisyklę¶

Interpoliacijos formulei \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (ankstesnis skyrius) pritaikius grandinės taisyklę ir naudojant natūraliųjų koordinačių atvaizdavimo į fizikines koordinates Jacobiano matricą \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\), gaunama

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Čia \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ir \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) yra matricos, kurių eilutė \(\alpha\) yra mazgo \(\alpha\) dalinių išvestinių vektorius; abi yra \(n_e \times 3\) matricos.

Jacobiano matricos sudarymas¶

Diferencijuojant interpoliacijos formulę \(\boldsymbol{r}\) atžvilgiu, gaunama

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Taigi Jacobiano matricą galima tiesiogiai sudaryti iš elemento mazgų koordinačių \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ir natūraliųjų koordinačių išvestinių \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Natūraliųjų koordinačių išvestines lemia formos funkcijų funkcinė forma; jos iš anksto įgyvendintos kiekvienam elemento tipui.

Jacobiano matricos determinantas \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) naudojamas skaitiniame integravime tūrio elementui transformuoti pagal \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Jei determinantas tampa \(0\), elementas yra degeneravęs ir skaičiavimas nepavyksta.

Skaičiavimo eiga¶

Iš ankstesnio išvedimo erdvinių išvestinių \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) skaičiavimą galima suskirstyti į keturis etapus.

Apskaičiuoti natūraliųjų koordinačių išvestines: pagal elemento tipą ir vertinimo taško natūraliąsias koordinates \(\boldsymbol{r}\) apskaičiuojama natūraliųjų koordinačių išvestinių matrica \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Kadangi formos funkcijų forma priklauso nuo elemento tipo, skaičiavimas pagal jį išsišakoja.
Apskaičiuoti Jacobiano matricą: iš elemento mazgų koordinačių \(\boldsymbol{X}^e\) ir \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) pagal ankstesnio skyriaus lygtį sudaroma Jacobiano matrica \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\).
Apskaičiuoti atvirkštinę matricą ir determinantą: apskaičiuojama Jacobiano matricos atvirkštinė \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ir determinantas. Determinantas naudojamas skaitinio integravimo svoriui.
Apskaičiuoti erdvines išvestines: iš \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ir \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) sandaugos gaunamos erdvinės išvestinės \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\).

Šie keturi etapai šakojasi pagal elemento tipą ir erdvės matmenį (du ar trys matmenys), tačiau bendra eiga yra ta pati.

Bendras atskaitos ir dabartinės konfigūracijų traktavimas¶

Tą pačią procedūrą galima pritaikyti paprasčiausiai pakeičiant \(\boldsymbol{X}^e\) dabartinėmis mazgų koordinatėmis \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ir gauti erdvines išvestines \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) dabartinėje konfigūracijoje. Taigi Total Lagrangian ir Updated Lagrangian formuluotės gali naudoti tą pačią procedūrą, pakeičiant tik įvesties mazgų koordinates.

Susijusios temos¶

Formos funkcijos ir baigtinių elementų aproksimacija — formos funkcijų ir elemento mazgų koordinačių apibrėžimas
Vidinio virtualiojo darbo diskretizavimas — B matricos sudarymas iš erdvinių išvestinių
Skaitinis integravimas — Jacobiano determinanto naudojimas Gauss kvadratūroje