Formos funkcijos ir baigtinių elementų aproksimacija¶

Kad virtualiųjų darbų principo silpnąją formą būtų galima apdoroti kompiuteriu, kūno sritis padalijama į baigtinį elementų skaičių, o medžiagos taškų koordinatės, poslinkiai ir testinė funkcija kiekviename elemente interpoliuojami pagal mazgų reikšmes ir formos funkcijas. Formos funkcijų erdvinės išvestinės nagrinėjamos skyriuje Formos funkcijų erdvinės išvestinės, silpnosios formos diskretizavimas – Vidinio virtualiojo darbo diskretizavimas, o konkrečios kiekvieno elemento tipo formos funkcijos – Elementų numeravimo sistema ir formos funkcijų biblioteka ir tolesniuose skyriuose.

Srities skaidymas ir integralų sumos pagal elementus¶

Atskaitos konfigūracijos sritis \(\Omega_0\) ir dabartinės konfigūracijos sritis \(\Omega\) aproksimuojamos atitinkamai elementų \(\Omega^e_0\) ir \(\Omega^e\) junginiais:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) yra elemento numeris, o elementų ribos bendros gretimiems elementams.) Taip virtualiųjų darbų principo tūrio ir paviršiaus integralai išskaidomi į atskirų elementų integralų sumas:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Dabartinei konfigūracijai analogiškai pakeičiama \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Toliau silpnosios formos įvertinimas suvedamas į integralų sudarymą kiekvienam elementui.

Interpoliavimas mazgų reikšmėmis ir formos funkcijomis (izoparametriniai elementai)¶

Kiekvienam elementui \(\Omega^e_0\) priskiriama \(n_e\) mazgų. Elemento mazgo \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) atskaitos konfigūracijos koordinates ir mazgo poslinkį pažymėkime \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Juos išdėsčius gaunami elemento mazgų vektoriai \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) ir \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\); jie gaunami iš globalių mazgų vektorių \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) – bendras mazgų skaičius) išrenkant tik elementą \(e\) sudarančių mazgų komponentes.

Naudojant elemento vietines koordinates – natūraliąsias koordinates \(\boldsymbol{r}\) – kaip parametrus, formos funkcijomis \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ta pačia funkcijų sistema interpoliuojamos medžiagos koordinatės, poslinkis ir testinė funkcija elemente (izoparametrinis elementas ir Galerkino metodas):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Formos funkcijos sudaromos taip, kad tenkintų šias dvi savybes, o elemento forma parenkama taip, kad atvaizdis iš natūraliųjų koordinačių į medžiagos koordinates \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) elemento viduje būtų vienareikšmis:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) yra natūraliųjų koordinačių taškas, atitinkantis mazgą \(\alpha\), o \(\delta_{\alpha\beta}\) – Kroneckerio delta.) Pirmoji lygtis užtikrina standaus kūno slinkties atkūrimą, antroji – kad interpoliuota reikšmė mazge sutaptų su mazgo reikšme. Konkrečios \(n_e\) ir \(N_\alpha^e\) formos kiekvienam elemento tipui pateikiamos Elementų numeravimo sistema ir formos funkcijų biblioteka ir tolesniuose skyriuose. Kad žymėjimas nebūtų pernelyg sudėtingas, priklausomybę nuo elemento tipo reprezentuoja elemento viršutinis indeksas \(e\).

Pagal šias interpoliavimo taisykles silpnosios formos integrando funkciją galima išreikšti tik elemento mazgų reikšmėmis \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) ir \(N_\alpha^e\). Kita vertus, deformacija gaunama iš interpoliuoto poslinkio ir deformacijos–poslinkio ryšio, o įtempis – iš tos deformacijos ir medžiagos konstitucinės priklausomybės; šie dydžiai nėra tiesiogiai interpoliuojami iš mazgų reikšmių. Jie vertinami elemento integravimo taškuose (Skaitinis integravimas).

Globalių mazgų vektoriaus rikiavimo taisyklė¶

Mazgams priskirti fizikiniai dydžiai globaliame mazgų vektoriuje rikiuojami didėjančia tvarka mazgo numeris → laisvės laipsnis. Jei mazgo \(\alpha\) laisvės laipsnio \(i\) komponentę žymime \(u_{i\alpha}\), trimačiu (\(i=1,2,3\)) ir dvimačiu (\(i=1,2\)) atvejais atitinkamai gauname

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinatės \(\boldsymbol{X}^n\) ir testinė funkcija \(\delta\boldsymbol{u}^n\) rikiuojamos taip pat. Toliau matricų ir vektorių formos išvedimai pateikiami reprezentatyviai trimačiam atvejui.

Susijusios temos¶

Virtualiųjų darbų principas — diskretizuojama silpnoji forma
Formos funkcijų erdvinės išvestinės — Jakobiano ir B matricos parengimas
Elementų numeravimo sistema ir formos funkcijų biblioteka — kiekvieno elemento tipo formos funkcijos