Valkšnumas¶

Šiame skyriuje aprašomas FrontISTR naudojamas valkšnumo konstitucinis dėsnis. Informaciją apie modelio pasirinkimą ir įvesties parametrus žr. funkcijų skyriaus 03_material.

Valkšnumo reiškinys ir adityvusis deformacijų skaidymas¶

Nuo laiko priklausantis poslinkis esant pastoviam įtempiui vadinamas „valkšnumu“.

Pirmiau aprašytą viskoelastinį elgesį taip pat galima laikyti tiesinio valkšnumo reiškiniu. Čia nagrinėjami keli netiesinio valkšnumo elgesio atvejai. Įprasta konstitucinį ryšį formuluoti prie akimirksniu atsirandančios deformacijos pridedant šį nuo laiko priklausantį dėmenį, o deformaciją, kuri kaupiasi veikiant pastoviai apkrovai, apibrėžti kaip valkšnumo deformaciją \(\varepsilon^c\). Konstitucinis ryšys, apimantis valkšnumą, paprastai išreiškiamas valkšnumo deformacijos greičiu \(\dot{\varepsilon}^c\), kuris apibrėžiamas kaip įtempio ir bendrosios valkšnumo deformacijos funkcija.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Jei akimirksniu atsirandanti deformacija yra tamprioji deformacija \(\varepsilon^e\), bendroji deformacija išreiškiama šia suma, apimančia ir valkšnumo deformaciją.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

čia

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) – tamprumo tenzorius).

Norton dėsnis¶

Kaip konkretų valkšnumo konstitucinį dėsnį FrontISTR naudoja toliau pateiktą Norton modelį. Šiame dėsnyje ekvivalentinės valkšnumo deformacijos greitis \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) išreiškiamas kaip von Mises įtempio \(q\) ir laiko \(t\) funkcija:

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Čia \(A\), \(m\) ir \(n\) yra medžiagos konstantos.

Integravimas laiko atžvilgiu ir įtempių atnaujinimas¶

Kaip ir plastinių medžiagų atveju, valkšnumą aprašančiam konstituciniam dėsniui reikia nurodyti skaitinį integravimo laiko atžvilgiu metodą. Atsižvelgiant į valkšnumą, konstitucinis ryšys yra

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

čia \(\beta_{n+\theta}\) yra

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Tada valkšnumo deformacijos prieaugis \(\Delta \varepsilon^c\) apibrėžiamas šia supaprastinta netiesine lygtimi:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

kuri prilyginama nuliui.

Newton-Raphson iteracijoje pradine įtempių verte laikant \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) ir naudojant baigtinių elementų metodu gautą deformacijos prieaugį, iteracinis sprendinys ir prieaugis pateikiami taip:

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

čia

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

Kai iteruojama tol, kol liekana \(R\) tampa \(\mathbf{0}\), naudojami įtempiai \(\sigma_{n+1}\) ir tangentinis modulis

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Susijusios temos¶

Viskoelastingumas — tiesiniam valkšnumui atitinkantis viskoelastinis elgesys
Tangentinė standumo matrica — tangentinis standumas prieauginėje analizėje, apimančioje valkšnumą
Medžiagų duomenys (funkcijos) — Norton modelio parametrų nurodymas