Pereiti prie turinio

Elastoplastiškumas

Šiame skyriuje aprašoma FrontISTR naudojamo elastoplastinio konstitucinio dėsnio struktūra. Išsamiau apie pasirinkimą ir įvesties parametrus žr. funkcijų skyriaus 03_material.

Reiškinys (plastinė deformacija)

TBD (bus parašyta kitame etape).

Konstitucinio dėsnio struktūra

FrontISTR naudoja elastoplastinę konstitucinę lygtį, pagrįstą asociatyviąja tekėjimo taisykle. Konstitucinė lygtis išreiškia ryšį tarp Kirchhoff įtempių Jaumann greičio ir deformacijos greičio tenzoriaus, o deformacijos analizėje taikoma atnaujintoji Lagrange formuluotė.

Tarkime, kad elastoplastinės medžiagos takumo sąlyga yra tokia.

Pradinė takumo sąlyga:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Vėlesnė takumo sąlyga:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

čia

  • \(F\): takumo funkcija
  • \(\sigma_{y_0}\): pradinis takumo įtempis
  • \(\sigma_y\): vėlesnis takumo įtempis
  • \(\sigma\): įtempių tenzorius
  • \(e\): mažųjų deformacijų tenzorius
  • \(e^p\): plastinių deformacijų tenzorius
  • \(\overline{e}^p\): ekvivalentinė plastinė deformacija

Laikoma, kad takumo įtempio ir ekvivalentinės plastinės deformacijos ryšys sutampa su vienaašės būsenos įtempio ir plastinės deformacijos ryšiu.

Vienaašės būsenos įtempio ir plastinės deformacijos ryšys

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

čia \(H'\) yra deformacinio kietėjimo modulis.

Ekvivalentinio įtempio ir ekvivalentinės plastinės deformacijos ryšys

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Apskritai vėlesnė takumo funkcija priklauso nuo temperatūros ir plastinės deformacijos darbo, tačiau paprastumo dėlei čia laikoma, kad ji priklauso tik nuo ekvivalentinės plastinės deformacijos \(\overline{e}^p\). Vykstant plastinei deformacijai turi nuolat galioti \(F = 0\), todėl turi būti tenkinama ši lygtis.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Čia \(\dot{F}\) žymi \(F\) išvestinę laiko atžvilgiu. Toliau dydžio \(A\) išvestinę laiko atžvilgiu žymėsime \(\dot{A}\).

Tarkime, kad egzistuoja plastinis potencialas \(\Theta\), ir plastinės deformacijos greitį užrašykime taip:

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Čia \(\dot{\lambda}\) yra koeficientas.

Be to, laikant, kad plastinis potencialas \(\Theta\) lygus takumo funkcijai \(F\), naudojama ši asociatyvioji tekėjimo taisyklė.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Įstačius šią lygtį į suderinamumo sąlygą gaunama

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Čia \(D\) yra tamprumo matrica, o

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastinį įtempių ir deformacijų ryšį galima užrašyti taip:

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Žinant elastoplastinės medžiagos takumo funkciją \(F\), iš šios išraiškos gaunama jos konstitucinė lygtis.

Takumo funkcijos

Toliau pateikiamos FrontISTR naudojamos elastoplastinio takumo funkcijos.

Von Mises takumo funkcija

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Čia \(J_2\) yra deviatorinio įtempių tenzoriaus antrasis invariantas.

Mohr-Coulomb takumo funkcija

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Čia \(\sigma_1, \sigma_3\) yra atitinkamai didžiausias ir mažiausias pagrindiniai įtempiai, \(c\) – sankiba, o \(\phi\) – vidinės trinties kampas.

Drucker-Prager takumo funkcija

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Čia medžiagos konstantos \(\alpha\) ir \(\sigma_y\) apskaičiuojamos iš medžiagos sankibos ir trinties kampo taip:

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Susijusios temos

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status