Hiperelastingumas¶

Šiame skyriuje nagrinėjami FrontISTR palaikomi hiperelastiniai konstitutyviniai dėsniai. Išsamiau apie modelių pasirinkimą ir įvesties nurodymą žr. funkcijų skyrių 03_material.

Reiškinys (grįžtamoji didelių deformacijų reakcija)¶

TBD (kitame etape bus išplėsta iki pilno teksto).

Konstitutyvinio dėsnio sistema¶

Izotropinės hiperelastinės medžiagos tamprumo potencinė energija gaunama iš izotropinės reakcijos nuo pradinės neįtemptos būsenos ir gali būti išreikšta dešiniojo Cauchy-Green deformacijos tenzoriaus \(C\) pagrindinių invariantų \((I_1, I_2, I_3)\) arba deformacijos tenzoriaus, iš kurio pašalintas tūrio pokytis, pagrindinių invariantų \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) funkcija, t. y. \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) arba \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Hiperelastinės medžiagos konstitutyvinė lygtis apibrėžiama antrojo Piola-Kirchhoff įtempio ir Green-Lagrange deformacijos santykiu, o deformacijos analizei taikomas Total Lagrange metodas.

Kai tamprumo potencinė energija \(W\) žinoma, antrojo Piola-Kirchhoff įtempį ir įtempio–deformacijos santykį galima apskaičiuoti taip.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Toliau išvardijamos FrontISTR naudojamų hiperelastinių modelių tamprumo potencinės energijos \(W\).

Neo-Hookean hiperelastinis modelis¶

Neo-Hookean hiperelastinis modelis išplečia izotropinį tiesinį dėsnį (Hooke dėsnį), kad jį būtų galima taikyti didelių deformacijų uždaviniams. Jo tamprumo potencialas yra toks.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Čia \(C_{10}\) ir \(D\) yra medžiagos konstantos.

Mooney-Rivlin hiperelastinis modelis¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Čia \(C_{10}\), \(C_{01}\) ir \(D\) yra medžiagos konstantos.

Mooney-Rivlin anizotropinis hiperelastinis modelis¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Čia \(C_{10}\), \(C_{01}\) ir \(D\) yra izotropiniam modeliui bendros medžiagos konstantos, o \(C_{42}\) ir \(C_{43}\) – tik anizotropijai skirtos medžiagos konstantos.

Arruda-Boyce hiperelastinis modelis¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Čia \(\mu_0\), \(\lambda_m\) ir \(D\) yra medžiagos konstantos.

Susijusios temos¶

Tiesinis tamprumas — tamprioji reakcija esant mažoms deformacijoms
Elastoplastika — konstitutyviniai dėsniai, apimantys negrįžtamą deformaciją
Medžiagų duomenys (funkcijos) — modelių parinktys ir pasirinkimas