Tiesinis elastingumas¶

Šiame skyriuje nagrinėjamas tiesiškai elastingų medžiagų konstitucinis dėsnis (Huko dėsnis). Išsamiau apie modelio pasirinkimą ir įvesties specifikacijas žr. funkcijų skyrių 03_material.

Reiškinys (tiesiškai elastinis atsakas)¶

Tiesiškai elastinis kūnas yra medžiaga, kuri srityje, kur apkrovos sukelta deformacija yra pakankamai maža, pasižymi tiesiniu įtempių ir deformacijų ryšiu bei grįžtamu, nuo istorijos nepriklausomu atsaku: nuėmus apkrovą visa deformacija išnyksta ir kūnas grįžta į pradinę būseną. Skirtingai nuo plastiškumo ar valkšnumo, tokia medžiaga neturi būseną nusakančių vidinių kintamųjų (pvz., plastinės ar klampos deformacijos), o įtempis vienareikšmiškai nustatomas tik pagal dabartinę deformaciją.

Mažų deformacijų srityje naudojami Cauchy įtempis \(\boldsymbol{\sigma}\) ir mažoji deformacija \(\boldsymbol{\varepsilon}\); baigtinių deformacijų srityje (uždaviniuose, kuriuose galimi dideli pasisukimai, tačiau pati deformacija išlieka maža) naudojami antrasis Piolos–Kirchhofo įtempis \(\boldsymbol{S}\) ir Greeno–Lagranžo deformacija \(\boldsymbol{E}\) (St. Venant–Kirchhofo medžiaga).

Konstitucinis dėsnis¶

Izotropinė tiesiškai elastinė medžiaga¶

Mažų deformacijų srityje izotropinis Huko dėsnis, naudojant Lamé konstantas \(\lambda, \mu\), išreiškiamas taip:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Komponentėmis:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

o atlikus dvigubą kontrakciją su deformacija gaunama \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamé konstantos su Youngo moduliu \(E\) ir Puasono koeficientu \(\nu\) susijusios taip:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigto žymėjimu deformacijų vektoriaus \(\hat{\varepsilon}\) ir įtempių vektoriaus \(\hat{\sigma}\) ryšys rašomas \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), o trimatė medžiagos matrica \(D\) yra

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Šis matricinis pavidalas naudojamas realizacijoje.

Ortotropinė tiesiškai elastinė medžiaga¶

Medžiagoms, kurių elastinės konstantos priklauso nuo pagrindinės ašies krypties, naudojamas ortotropinis modelis su devyniomis nepriklausomomis konstantomis: Youngo moduliais pagrindinių ašių kryptimis \(E_1, E_2, E_3\), Puasono koeficientais tarp pagrindinių ašių \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) ir šlyties moduliais \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Aiškų matricos \(D\) pavidalą žr. standartiniuose šaltiniuose.

Baigtinių deformacijų sritis: St. Venant–Kirchhofo medžiaga¶

Uždaviniuose, kuriuose galimi dideli pasisukimai, tačiau pati deformacija išlieka maža, St. Venant–Kirchhofo medžiaga naudojama kaip tiesinio elastingumo dėsnis, siejantis antrąjį Piolos–Kirchhofo įtempį \(\boldsymbol{S}\) ir Greeno–Lagranžo deformaciją \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé konstantų \(\lambda, \mu\) apibrėžimai tokie patys kaip mažų deformacijų atveju. Tačiau reikia atkreipti dėmesį, kad dėl skirtingai apibrėžtos įtempio ir deformacijos poros tai yra kitas konstitucinis dėsnis nei Huko dėsnis mažoms deformacijoms.

Hipoelastinė medžiaga¶

Updated Lagrange metode naudojama hipoelastinė medžiaga, kuriai tiesinis elastingumo dėsnis taikomas tarp santykinio Kirchhofo įtempių tenzoriaus Jaumanno išvestinės \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ir deformacijos greičio tenzoriaus \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Ir čia \(\boldsymbol{C}\) apibrėžimas Lamé konstantomis toks pats kaip pirmiau, tačiau dėl skirtingos įtempio ir deformacijos poros tai yra kitas konstitucinis dėsnis. Išsamiau apie tai, kaip \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) atnaujinamas taikant laiko integravimo procedūrą (tiesioginį Eulerio integravimą ir centrinių skirtumų aproksimaciją), žr. tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Redukcija dvimatei analizei ir kevalų elementams¶

Plokščiasis įtempis (\(\sigma_{33} = 0\))¶

Plokščiojo įtempio atveju, aprašančiame plonų plokščių ir kevalų apkrovimą, daroma prielaida \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), o už plokštumos esančią deformacijos komponentę \(\varepsilon_{33}\) algebriškai eliminavus naudojama matrica \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Plokščioji deformacija (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

Plokščiosios deformacijos atveju, aprašančiame ilgos konstrukcijos skerspjūvį, kurio deformacija storio kryptimi suvaržyta, daroma prielaida \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Ašisimetrė analizė¶

Ašisimetrėje analizėje, kur nagrinėjami cilindrinėmis koordinatėmis \((r, \theta, z)\) aprašyti uždaviniai, vienodi \(\theta\) kryptimi, paliekamos keturios komponentės \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) ir \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), ir gaunama

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

Kevalų elementai (plokščiasis įtempis + skersinė šlytis)¶

Kevalų elementuose plokštumos įtempiai traktuojami kaip plokščiasis įtempis, o skersinės šlyties deformacijų komponentėms \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) taikomas šlyties pataisos koeficientas \(\kappa\) (paprastai \(\kappa = 5/6\)), todėl naudojamas \(\kappa\, G\). Išsamią kiekvieno elemento formuluotę žr. Išplėstinės elementų formuluotės. Funkcijų skyriaus 03_material teiginys „kevalų elementai palaiko tik tiesinį elastingumą“ remiasi šiuo supaprastinimu, kai plokštumos būsena traktuojama kaip plokščiasis įtempis.

Priklausomybė nuo temperatūros¶

Youngo modulis \(E\), Puasono koeficientas \(\nu\) ir tiesinio šiluminio plėtimosi koeficientas \(\alpha\) paprastai nurodomi kaip temperatūros \(T\) funkcijos. FrontISTR reikšmės įvedamos baigtinei temperatūros taškų sekai \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), o skaičiavimo metu temperatūrai \(T\) reikšmė nustatoma tiesine interpoliacija tarp gretimų taškų. Temperatūroms už intervalo ribų (\(T < T_1\) arba \(T > T_n\)) ekstrapoliacijai naudojama artimiausio galinio taško \(T_1\) arba \(T_n\) reikšmė (pastovi ekstrapoliacija).

Apie šiluminių ir šilumos laidumo savybių (tankio, savitosios šilumos ir šilumos laidumo koeficiento) priklausomybę nuo temperatūros žr. Šiluminės savybės. Šioms savybėms taikomos tos pačios interpoliacijos taisyklės.

Susijusios temos¶

Tenzorinis žymėjimas ir matematiniai pagrindai — Voigto žymėjimo susitarimai ir medžiagos matricos \(D\) vaidmuo
Judėjimas, deformacija ir deformacijos matas — bendras deformacijos gradiento ir deformacijos tenzoriaus aprašymas
Hiperelastingumas — grįžtamo atsako išplėtimas didelėms deformacijoms
Elastoplastika — hipoelastiniai ir plastiniai modeliai, įskaitant plastinę deformaciją
Šiluminės savybės — šilumos laidumo ir termoįtempių sąveikai naudojamos savybės
Medžiagos duomenys (funkcijos) — modelių parinktys ir pasirinkimas