Pereiti prie turinio

Tiesinė elastinė statinė analizė (įvadas)

Šiame skyriuje pateikiama elastinės statinės analizės formuluotė, pagrįsta mažųjų deformacijų teorija. Įtempių ir deformacijų ryšiui daroma tiesinio elastingumo prielaida. Šis skyrius skirtas kaip įvadas į bendrąją baigtinių elementų konstrukcijų analizės struktūrą ir pateikiamas kaip savarankiškas skyrius.

Bendrąją virtualiojo darbo principo teoriją (dabartinės konfigūracijos formą, pradinės konfigūracijos formą ir redukciją į mažąsias deformacijas) žr. Virtualiojo darbo principas; tiesinio elastingumo konstitucinį dėsnį — Tiesinis elastingumas; tenzorinio ir Voigto žymėjimo susitarimus — Tenzorinis žymėjimas ir matematiniai pagrindai; bendrąją baigtinių deformacijų formuluotę — Judėjimas, deformacija ir deformacijos matas; o netiesinių uždavinių sprendimo metodus — Tangentinio standumo matrica.

Pagrindinės lygtys

Darant mažųjų deformacijų ir tiesinio elastingumo prielaidas, kietojo kūno mechanikos kraštinį uždavinį sudaro pusiausvyros lygtis, mechaninės kraštinės sąlygos ir geometrinės kraštinės sąlygos (esminės kraštinės sąlygos) (žr. 2.1.1 pav.):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{srityje} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{ant} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{ant} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Čia \(\boldsymbol{\sigma}\) yra Cauchy įtempis, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) — tūrinė jėga tūrio vienetui, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) — nustatyta paviršinė trauka, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) — nustatytas poslinkis, o \(S_t, S_u\) — mechaninė ir geometrinė ribos.

Kietojo kūno mechanikos kraštinis uždavinys (mažųjų deformacijų uždavinys)

2.1.1 pav. Kietojo kūno mechanikos kraštinis uždavinys (mažųjų deformacijų uždavinys)

Naudojant simetrinio gradiento operatorių, deformacijos ir poslinkio ryšys yra

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Tiesinio elastingumo konstitucinė lygtis yra

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

čia \(\boldsymbol{C}\) yra ketvirtos eilės elastingumo tenzorius.

Virtualiojo darbo principas

Bendrosios virtualiojo darbo principo formos (dabartinės konfigūracijos forma, pradinės konfigūracijos forma ir redukcija į mažąsias deformacijas) apibendrintos skyriuje Virtualiojo darbo principas. Darant mažųjų deformacijų ir tiesinio elastingumo prielaidas, silpnoji forma yra

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{ant} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Įstačius konstitucinę lygtį \eqref{eq:2.1.5} ir Voigto žymėjimu užrašius \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), gaunama forma, tiesiogiai naudojama diskretizavimui:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

čia \(D\) yra elastinė matrica, apibrėžta skyriuje Tiesinis elastingumas. Lygtys \eqref{eq:2.1.10} ir \eqref{eq:2.1.7} sudaro toliau diskretizuojamą virtualiojo darbo principą.

Diskretizavimas ir globaliosios lygties surinkimas

Diskretizavus \( \eqref{eq:2.1.10} \) lygties virtualiojo darbo principą baigtiniais elementais gaunama

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Kiekviename elemente poslinkių laukas interpoliuojamas naudojant elementą sudarančių mazgų poslinkius:

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Tada, naudojant \(\eqref{eq:2.1.4}\), deformacija išreiškiama taip:

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Įstačius \(\eqref{eq:2.1.12}\) ir \(\eqref{eq:2.1.13}\) lygtis į \(\eqref{eq:2.1.11}\) gaunama

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Lygtį \(\eqref{eq:2.1.14}\) galima užrašyti kaip

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Čia lygtyse \(\eqref{eq:2.1.16}\) ir \(\eqref{eq:2.1.17}\) apibrėžtų matricos ir vektoriaus komponentes galima apskaičiuoti kiekvienam baigtiniam elementui ir surinkti superpozicijos būdu.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Kadangi lygtis \(\eqref{eq:2.1.15}\) galioja bet kokiam virtualiajam poslinkiui \(\delta \boldsymbol{U}\), gaunama ši lygtis:

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Tuo tarpu poslinkio kraštinė sąlyga \(\eqref{eq:2.1.3}\) išreiškiama taip:

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Išsprendus \(\eqref{eq:2.1.18}\) lygtį su \(\eqref{eq:2.1.19}\) apribojimo sąlyga, galima nustatyti mazginį poslinkį \(\boldsymbol{U}\).

Taip pat žr.

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status