Skip to content

Геометриялық шекаралық шарттарды өңдеу

Newton-Raphson әдісінде әр итерацияда шешілетін \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) сызықтық теңдеуіне геометриялық шекаралық шарттар (орын ауыстыру шектеулері) әлі енгізілмеген. Бұл тарауда \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) орын ауыстыру шектеуі берілген еркіндік дәрежелері үшін итерациядан кейінгі орын ауыстыру шектелген мәнге жетуі үшін \(\boldsymbol{K}\) қаттылық матрицасы мен \(\boldsymbol{R}\) қалдық векторын қалай өзгерту керектігі көрсетіледі. Көпнүктелі шектеулер (MPC) және жанасуға байланысты сызықтық емес шектеулер бөлек өңделеді; Көпнүктелі шектеу және Жанасу бөлімдерін қараңыз.

Орын ауыстыру шектеуін белгісіз айнымалы ретінде сақтап қалу тәсілі

Геометриялық шекаралық шарт берілген түйіндегі орын ауыстыру енді белгісіз айнымалы емес және белгіленген \(\bar{u}_i\) мәніне бекітіледі. Оларды тұрақты деп алып, \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) сызықтық теңдеуінен жоюға да болады, бірақ FrontISTR шектелген еркіндік дәрежелерін де басқа еркіндік дәрежелері сияқты \(d\boldsymbol{u}\) түзету векторында қалдырып, шектеуді \(\boldsymbol{K}\) және \(\boldsymbol{R}\) жақтарын қайта жазу арқылы жүзеге асырады.

Бұл тәсілде коэффициент матрицасының өлшемі мен еркіндік дәрежелерінің реті шектеудің бар-жоғына байланысты өзгермейді, сондықтан айнымалыларды жойып, бос қалған жолдар мен бағандарды қайта тығыздау қажет емес. Коэффициент матрицасы сирек матрица пішімінде сақталатын іске асыруда мұндай қайта тығыздау күрделі болғандықтан, FrontISTR тек коэффициент матрицасы мен оң жақты жаңарту арқылы шектеуді орындайтын екінші тәсілді қолданады.

Newton-Raphson түзету шамасын алмастыру мақсаты

Орын ауыстыруы шектелген \(i\) еркіндік дәрежесі үшін Newton-Raphson итерациясында есептелетін \(du_i\) түзету шамасы

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1-итерация}) \\ 0 & (\text{2-итерациядан бастап}) \end{cases} \]

болатындай етіп \(\boldsymbol{K}\) және \(\boldsymbol{R}\) өзгертеміз. Соның арқасында бірінші итерацияда орын ауыстыру өсімі шектелген \(\bar{u}_i\) мәніне жетеді, ал екінші және кейінгі итерацияларда түзету шамасы \(0\) болып, шектелген мән сақталады.

Матрица мен қалдық векторын түрлендіру рәсімі

Алдыңғы бөлімдегі алмастыру мақсаты \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) сызықтық теңдеуінің пішімін сақтай отырып, келесі екі түрлендірумен орындалады.

  1. \(i\) жолын диагоналдау: \(du_i\) коэффициенті болатын \(K_{ii}\) диагональ мүшесін \(1\)-ге, ал басқа барлық \(K_{ij}\ (j \not= i)\) коэффициенттерін \(0\)-ге алмастырып, оң жақты \(R_i \to d\bar{u}_i\) етіңіз. Сонда \(i\) жолының теңдеуі \(du_i = d\bar{u}_i\) болады.
  2. \(j(\not= i)\) жолынан оң жаққа көшіру: \(j(\not= i)\) жолында \(K_{ji} \not= 0\) болса, \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) мүшесін оң жаққа көшіріңіз. Яғни оң жақтан \(K_{ji} d\bar{u}_i\) алып тастап, \(du_i\) коэффициенті \(K_{ji}\) мәнін \(0\) етіңіз.

Компоненттік түрде жазсақ, түрлендіруге дейінгі және кейінгі теңдеулер келесідей сәйкеседі.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Түрлендіруден кейінгі коэффициент матрицасы мен оң жақты тиісінше \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) деп белгілесек, ақырында шешілетін сызықтық теңдеу

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

болады. Шектелген еркіндік дәрежелері бірнешеу болса, жоғарыдағы 1 және 2 түрлендірулер әрбір шектелген \(i\) еркіндік дәрежесіне ретімен қолданылады.

Сирек матрицалық іске асырудағы өңдеу ауқымы

Іске асыруда \(\boldsymbol{K}\) коэффициент матрицасы сирек матрица пішімінде сақталады. Алдыңғы бөлімдегі 2-рәсімде \(j(\not= i)\) жолын өңдеу тек \(i\) бағанында нөлдік емес компоненті бар жолдарға, яғни элемент арқылы шектелген \(i\) еркіндік дәрежесімен байланысқан түйіндердің еркіндік дәрежелеріне орындалады. Байланысы жоқ еркіндік дәрежелері үшін \(K_{ji} = 0\), сондықтан оң жаққа көшіру оны өзгертпейді. Осы шектеудің арқасында шектеулерді өңдеу жалпы түйін санына қатысты тек жергілікті операциялармен аяқталады.

Қатысты бөлімдер

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status