Skip to content

Өтпелі жылу өткізгіштік талдауы

Ақырлы элементтер әдісі (Finite Element Method) арқылы қатты дененің жылу өткізгіштігін талдауда уақыт бойынша дискреттеу және итерациялық шешу әдісі көрсетіледі. Континуумдағы басқарушы теңдеу мен шекаралық шарттар үшін Жылу өткізгіштік теңдеуін қараңыз.

Дискреттелген теңдеу (бастапқы нүкте)

Жылу өткізгіштік теңдеуін (Жылу өткізгіштік теңдеуі (gov_he_main)) Galerkin әдісімен дискреттесек,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

Мұнда,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Мұнда \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) тиісінше жылу өткізгіштік матрицасы (шекаралық үлестердің конвекция және сәулелену мүшелерімен), масса матрицасы, жылулық жүктеме векторы және пішін функциялары матрицасы. Материал қасиеттерінің таңбалары (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) және т.б.) Жылу өткізгіштік теңдеуінде анықталғандай қолданылады.

Уақыт бойынша дискреттеу және итерациялық шешу

\(\eqref{eq:2.4.8}\) теңдеуі сызықтық емес әрі өтпелі теңдеу. Енді уақыт бойынша кері Эйлер әдісімен дискреттеп, \(t=t_0\) уақытындағы температура белгілі болғанда \(t=t_0+\Delta t\) уақытындағы температураны төмендегі теңдеумен есептейік.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Мұндағы \(\eqref{eq:2.4.13}\) теңдеуін жуықтап қанағаттандыратын температура векторы \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) жақсартылып, дәлірек шешім \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) табылсын.

Ол үшін алдымен температура векторын төмендегідей өрнектейміз.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Жылу өткізгіштік матрицасының температура векторына көбейтіндісін, масса матрицасын және т.б. төмендегідей жуықтап өрнектейміз.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\), \(\eqref{eq:2.4.16}\) теңдеулерін \(\eqref{eq:2.4.13}\) теңдеуіне қойып, екінші және одан жоғары ретті мүшелерді алып тастасақ, төмендегі теңдеу алынады.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Одан әрі сол жақтағы коэффициенттер матрицасын төмендегі теңдеумен жуықтап бағалаймыз.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Мұнда \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) — жанама қаттылық матрицасы.

Нәтижесінде төмендегі теңдеуді пайдаланып итерациялық есептеу арқылы \(t=t_0+\Delta t\) уақытындағы температураны есептеуге болады.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Атап айтқанда, тұрақты талдауда итерациялық есептеу төмендегі теңдеумен жүргізіледі.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Өтпелі талдауда уақыт өсімі \(\Delta t\) таңдалғанда уақыттық дискреттеу үшін жасырын әдіс қолданылатындықтан, жалпы жағдайда оның мөлшеріне тұрақтылық шектеуі қойылмайды. Алайда уақыт өсімі \(\Delta t\) тым үлкен болса, итерациялық есептеудегі жинақталу итерацияларының саны артады. Жалпы жағдайда уақыт өсімі \(\Delta t\) тым үлкен болса, итерациялар саны өседі. Іске асыруда қалдық векторының шамасы бақыланады: жинақталу баяу болса \(\Delta t\) азайтылады, итерациялар саны аз болса \(\Delta t\) ұлғайтылады; осы автоматты өсім басқаруы қолданылады (→ толық мәлімет үшін Қадамды басқару бөлімін қараңыз).

Қатысты бөлімдер

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status