Skip to content

Жиіліктік жауапты талдау

Есептің қойылымы

Жиіліктік жауапты талдау — сыртқы күш уақыт бойынша гармониялық өзгергенде, орныққан күйдегі жүйе жауабының амплитудасы мен фазасын жиілік облысында бағалайтын талдау. Қозғалыс теңдеуі демпфирлеу жоқ және бар жағдайларда әртүрлі негізде қарастырылатындықтан, бұл тарауда алдымен демпфирлеусіз еркін тербелістен меншікті модалар шығарылады, содан кейін олар модальдық базис ретінде қолданылып, демпфирлеу жағдайындағы гармониялық жауап жіктеледі.

Демпфирлеусіз еркін тербеліс және меншікті модалар

Демпфирлеу ескерілмегендегі қозғалыс теңдеуі төмендегі түрде жазылады.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Оны меншікті модалар бойынша жіктесек,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

болады. Мұны \(\eqref{eq:2.6.1}\) теңдеуіне қойсақ,

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

аламыз. Осы жалпыланған меншікті мәндер есебінің сандық шешу әдістері (ығысулы кері итерация және Lanczos әдісі) Модальдық талдау бөлімінде қарастырылады. Бұл бөлімде алынған меншікті жиіліктер мен меншікті модалардың кейінгі гармониялық жауап жіктеуінде қолданылатын қасиеттері жинақталады.

Меншікті жиіліктердің нақты болуы

Бұл меншікті жиіліктің нақты сан екенін төмендегідей дәлелдейміз. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) деп алып, \(\eqref{eq:2.6.3}\) теңдеуінің кешенді түйіндесін алсақ, \(\eqref{eq:2.6.4}\) теңдеуі шығады.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Оған \(\overline{U}_J^T\) көбейтсек,

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

аламыз. \(\eqref{eq:2.6.5}\) теңдеуінен,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

шығады. Мұнда масса матрицасы оң анықталған симметриялы болғандықтан, нөлдік емес меншікті вектор үшін

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

орындалады. Демек,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

және \(\omega_j^2 = \lambda_j\) нақты сан болады.

Меншікті модалардың ортогоналдығы және нормалануы

Енді екі әртүрлі моданы қарастырайық.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Осыдан,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

аламыз және меншікті мәндер әртүрлі болған жағдайда,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

болады. Яғни әртүрлі меншікті модалар масса матрицасына қатысты ортогоналды. Бір моданың өзін масса матрицасына қатысты нормалау (\(\eqref{eq:2.6.12}\) теңдеуі) кейінгі есептеулерді жеңілдетеді.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Демпфирлеу жағдайындағы гармониялық жауап

Келесіде демпфирлеу ескерілген жиіліктік жауапты талдаудың тұжырымдалуы беріледі. Қарастырылатын қозғалыс теңдеуі \(\eqref{eq:2.6.13}\) теңдеуінде көрсетілген.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Бұл жердегі демпфирлеу мүшесі Rayleigh түрінде деп қабылданып, \(\eqref{eq:2.6.14}\) теңдеуіндегідей өрнектеледі.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Модальдық талдаудан алынған меншікті векторлар арқылы орын ауыстыру векторы t уақытында \(\eqref{eq:2.6.15}\) теңдеуіндегідей жіктеледі.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Бұл кезде сыртқы күш мүшесі гармониялық осциллятор түріндегі

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

жағдайда \(b_{j}(t)\) анықталады. Қозғалыс теңдеуі \(\eqref{eq:2.6.13}\) мәжбүрлі тербеліс түріне келетіндіктен,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

орындалады. \(b_{j}(t)\) жіктеу коэффициентінің нақты және жорамал бөліктерін тапсақ, олар \(\eqref{eq:2.6.18}i\) және \(\eqref{eq:2.6.19}\) теңдеулеріндегі түрге келеді.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

болады.

Қатысты бөлімдер

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status