Модальдық талдау¶

Жалпыланған меншікті мәндер есебі¶

Континуумның еркін тербелісін талдағанда кеңістіктік дискреттеу орындалып, 2.3.1-суреттегідей шоғырланған массалары бар көп еркіндік дәрежелі жүйе түрінде модельденеді. Демпфирлеусіз еркін тербеліс есебі үшін басқарушы теңдеу (қозғалыс теңдеуі) төмендегідей.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Мұнда $u$ — жалпыланған орын ауыстыру векторы, $M$ — масса матрицасы, $K$ — қаттылық матрицасы. Меншікті бұрыштық жиілікті $\omega$ деп, $a$, $b$, $c$-ны еркін тұрақтылар, $x$-ті вектор ретінде алып, функцияны

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

анықтаймыз. Осы өрнек пен оның екінші туындысын, яғни

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

$\eqref{eq:2.3.1}$ теңдеуіне қойсақ,

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

аламыз. Яғни,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

алынады.

Демек, $\eqref{eq:2.3.5}$ теңдеуін қанағаттандыратын $\lambda = \omega^2$ коэффициентін және $x$ векторын таба алсақ, $u(t)$ функциясы $\eqref{eq:2.3.1}$ теңдеуінің шешімі болады.

$\lambda$ коэффициенті меншікті мән, $x$ векторы меншікті вектор деп аталады, ал оларды $\eqref{eq:2.3.1}$ теңдеуінен табу есебі жалпыланған меншікті мәндер есебі деп аталады.

Демпфирлеусіз еркін тербелістің көп еркіндік дәрежелі жүйесінің мысалы

2.3.1-сурет Демпфирлеусіз еркін тербелістің көп еркіндік дәрежелі жүйесінің мысалы

Матрицалардың қасиеттері және жорамалдар¶

Алдыңғы бөлімде алынған $K x = \lambda M x$ жалпыланған меншікті мәндер есебі үшін бұл нұсқаулықта төмендегі матрица қасиеттері жорамалданады. Бұл жорамалдар келесі ығысумен кері итерация әдісі мен Lanczos әдісінің жинақталуы және қолданылу аймағы үшін алғышарт болып табылады. Яғни күрделі матрицада транспонирленген матрица кешенді түйіндес болады, ал нақты матрица симметриялық болады. Басқаша айтқанда, $K$ матрицасының $ij$ элементін $k_{ij}$ деп, $k$-ның кешенді түйіндесін $\bar{k}$ деп алсақ,

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

қатынасы орындалады.

Бұл нұсқаулықта матрица симметриялық және оң анықталған деп жорамалданады. Оң анықталған матрица — барлық меншікті мәндері оң, басқаша айтқанда төмендегі $\eqref{eq:2.3.7}$ теңдеуін әрқашан қанағаттандыратын матрица.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Ығысумен кері итерация әдісі¶

Ақырлы элементтер әдісімен құрылымдық талдауда практикада барлық меншікті мәндер қажет емес, көбіне бірнеше төменгі ретті меншікті мән жеткілікті. HEC-MW ірі масштабты есептерге арналғандықтан, матрицалар үлкен әрі өте сирек (нөлдік элементтері көп). Сондықтан осыны ескере отырып, төменгі ретті модалардың меншікті мәндерін тиімді есептеу маңызды.

Меншікті мәндердің төменгі шегін $\sigma$ деп алсақ, $\eqref{eq:2.3.5}$ теңдеуін төмендегідей түрлендіруге болады (математикалық тұрғыдан эквивалент).

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Бұл кезде есептеу үшін төмендегідей қолайлы қасиеттер бар.

Модалардың реті кері айналады.
$\rho$ маңындағы меншікті мәндер ең үлкен мәндерге айналады.

Нақты есептеуде ең үлкен меншікті мән көбіне бірінші болып табылады. Сондықтан негізгі жинақталу есебін $\eqref{eq:2.3.5}$ теңдеуіне емес, $\eqref{eq:2.3.8}$ теңдеуіне қолданып, $\rho$ маңындағы меншікті мәндерден бастап табу көзделеді. Бұл әдіс ығысумен кері итерация деп аталады.

Lanczos әдісі¶

Таңдау себебі (Jacobi әдісімен салыстыру)¶

Классикалық әдістердің ішінде Jacobi әдісі жақсы белгілі.

Бұл әдіс матрица өлшемі шағын және матрица тығыз болғанда тиімді. Алайда HEC-MW қолданатын матрицалар ірі әрі сирек болғандықтан, бұл әдіс қолданылмай, Lanczos итерациялық шешу әдісі пайдаланылады.

Алгоритм және сипаттамалар¶

1950-жылдары C. Lanczos ұсынған бұл әдіс матрицаны үшдиагоналды түрге келтіру алгоритмі болып табылады және төмендегідей сипаттамалары бар.

Бұл итерациялық жинақталу әдісі және матрицаны сирек күйінде сақтап есептеуге мүмкіндік береді.
Алгоритм негізінен матрица-вектор көбейтінділерінен тұрады және параллельдеуге қолайлы.
Ақырлы элементтік торға тән геометриялық аймақтарға бөлу әдісіне қолайлы.
Есептелетін меншікті мәндер санын немесе мода диапазонын шектеп, тиімді есептеуге болады.

Lanczos әдісі бастапқы вектордан бастап кезекпен ортогонал векторлар жасап, ішкі кеңістіктің базисін табады. Бұл әдіс басқа итерациялық әдіс — ішкі кеңістік әдісіне қарағанда жылдамырақ деп саналады және ақырлы элементтер бағдарламаларында кеңінен қолданылады. Алайда бұл әдіс компьютерлік қателерге сезімтал; векторлардың ортогоналдығы жоғалып, есептеубарысындада бұзылу қаупін толық жою мүмкін емес. Сондықтан қателерге қарсы шаралар міндетті.

Геометриялық мағынасы (Krylov ішкі кеңістігі)¶

$\eqref{eq:2.3.8}$ теңдеуінде айнымалыларды төмендегідей алмастыру арқылы

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

есепті қайта жазсақ,

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

алынады.

Кез келген $q_0$ векторына $A$ матрицасымен сызықтық түрлендіру жүргіземіз (2.3.2-сурет).

$$A$ матрицасымен $q_0$-ді сызықтық түрлендіру$

2.3.2-сурет $A$ матрицасымен $q_0$-ді сызықтық түрлендіру

Түрлендірілген вектор бастапқы вектормен құрайтын кеңістікте ортогоналданады. Яғни 2.3.2-суреттегідей Gram-Schmidt ортогоналдауы орындалады. Осылай алынған векторды $r_1$ деп алып, оны нормалап (ұзындығын 1 етіп), $q_1$ аламыз (2.3.3-сурет). Ұқсас алгоритммен $q_1$-ден $q_2$ алынады. Бұл кезде $q_2$ әрі $q_1$-ге, әрі $q_0$-ге ортогонал (2.3.4-сурет). Осы есептеуді жалғастырсақ, бір-біріне ортогонал векторлар матрицаның ең көп дегенде реті санына дейін алынады.

$$q_0$-ге ортогонал $q_1$ векторы$

2.3.3-сурет $q_0$-ге ортогонал $q_1$ векторы

$$q_1$ және $q_0$-ге ортогонал $q_2$ векторы$

2.3.4-сурет $q_1$ және $q_0$-ге ортогонал $q_2$ векторы

Атап айтқанда, Lanczos алгоритмі $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$ векторлар тізбегіне

басқаша айтқанда $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

Gram-Schmidt ортогоналдауын қолдану болып табылады. Бұл векторлар тізбегі Krylov тізбегі, ал ол құрайтын кеңістік Krylov ішкі кеңістігі деп аталады. Осы кеңістікте Gram-Schmidt ортогоналдауын орындағанда векторды ең соңғы екі вектор арқылы табуға болады. Бұл Lanczos принципі деп аталады.

Үшдиагоналдау¶

Жоғарыдағы қайталауда i+1-ші есептеу

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

түрінде жазылады. Мұнда

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

болады. Мұны матрицалық түрде жазсақ,

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

алынады. Мұнда

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

болады. Яғни $\eqref{eq:2.3.13}$ теңдеуімен алынатын үшдиагоналды матрицаның меншікті мәндерін есептеу арқылы меншікті мәндер алынады.

Қатысты бөлімдер¶

Жиіліктік жауапты талдау — модальдық талдау нәтижелерін пайдаланатын жиіліктік жауап
Талдау түрлері — модальдық талдау мүмкіндіктеріне шолу