Динамикалық талдау әдістері¶

Бұл бөлімде тікелей уақыт бойынша интегралдауды қолданатын динамикалық есептерді талдау әдістері сипатталады. Төменде айқын емес және айқын әдістердің тұжырымдалуы берілген.

Қозғалыс теңдеуін дискреттеу (ортақ құрылым)¶

TBD (келесі кезеңде толықтырылады).

Айқын емес әдіс (Newmark-β әдісі)¶

Динамикалық есептер үшін төменде көрсетілген қозғалыс теңдеуін шешуге тікелей уақыт бойынша интегралдау әдісі қолданылады.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Мұнда \(M\) — масса матрицасы, \(C\) — демпфирлеу матрицасы, \(Q\) — ішкі күш векторы, ал \(F\) — сыртқы күш векторы. Масса матрицасы бейсызық талдауда да деформацияға тәуелсіз тұрақты деп қабылданады.

Уақыт қадамы \(\Delta t\) ішіндегі орын ауыстыру, жылдамдық және үдеу өзгерістері Newmark-\(\beta\) әдісімен \(\eqref{eq:2.5.2}\) және \(\eqref{eq:2.5.3}\) теңдеулерінде көрсетілгендей жуықталады.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Мұнда \(\gamma\) және \(\beta\) — Newmark-\(\beta\) әдісінің параметрлері.

Белгілі болғандай, \(\gamma\) және \(\beta\) үшін төмендегі мәндер тиісінше сызықтық үдеу әдісіне және трапеция ережесіне сәйкес келеді.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (сызықтық үдеу әдісі)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (трапеция ережесі)

\(\eqref{eq:2.5.2}\) және \(\eqref{eq:2.5.3}\) теңдеулерін \(\eqref{eq:2.5.1}\) теңдеуіне қойғанда келесі теңдеу алынады.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Атап айтқанда, сызықтық есеп үшін \(K_L\) — сызықтық қаттылық матрицасы және \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Бұл қатынасты жоғарыдағы теңдеуге қойғанда келесі теңдеу алынады.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Үдеу геометриялық шекаралық шарт ретінде берілген нүктелерде орын ауыстыру \(\eqref{eq:2.5.2}\) теңдеуінен төмендегідей алынады.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Сол сияқты, жылдамдық берілген нүктелерде орын ауыстыру \(\eqref{eq:2.5.6}\) теңдеуінен төмендегідей алынады.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Мұнда, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) — \(t+\Delta{t}\) уақытындағы түйіннің орын ауыстыруы, ал \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) — \(t+\Delta{t}\) уақытындағы түйін жылдамдығы, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) — \(t+\Delta{t}\) уақытындағы түйін үдеуі, \(i\) — түйіннің еркіндік дәрежесінің нөмірі, ал \(s\) — түйін нөмірі. Масса және демпфирлеу мүшелері төмендегідей өңделеді.

Масса мүшесін өңдеу¶

Негізінде масса матрицасы шоғырланған масса матрицасы ретінде қарастырылады.

Демпфирлеу мүшесін өңдеу¶

Демпфирлеу мүшесі \(\eqref{eq:2.5.8}\) теңдеуімен өрнектелетін Rayleigh демпфирлеуі ретінде қарастырылады.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Мұнда \(R_m\) және \(R_k\) — Rayleigh демпфирлеу параметрлері.

!DYNAMIC картасында көрсетілген \(R_m\) және \(R_k\) мәндері бүкіл модельге біркелкі қолданылады. Әр материалға әртүрлі \(R_m\), \(R_k\) беру үшін сол материалдың !MATERIAL блогында !DAMPING картасын көрсетіңіз. !DAMPING берілген материалға жататын элементтер үшін элементтің масса матрицасы \(M_i\) және жанама қаттылық матрицасы \(K_i\) арқылы \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) түрінде элементтік демпфирлеу матрицасы есептеліп, жаһандық демпфирлеу матрицасына жиналады. Бұл функция тек айқын емес әдісте қолданылады.

Айқын әдіс (орталық айырмалар әдісі)¶

Айқын әдіс төменде көрсетілген t уақытындағы қозғалыс теңдеуіне негізделеді.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

\(t + \Delta t\) және \(t - \Delta t\) уақыттарындағы орын ауыстыруларды \(t\) уақыты маңындағы Taylor жіктеуімен өрнектеп, \(\Delta t\) бойынша 2-ретті мүшелерге дейін қалдырсақ, келесі теңдеулер алынады.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.3}\) және \(\eqref{eq:2.5.4}\) теңдеулерінің айырмасы мен қосындысынан келесі теңдеулер алынады.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.12}\) және \(\eqref{eq:2.5.13}\) теңдеулерін \(\eqref{eq:2.5.9}\) теңдеуіне қойғанда келесі теңдеу алынады.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Атап айтқанда, сызықтық есеп үшін \(Q(t) = K_L U(t)\), сонда жоғарыдағы теңдеу мына түрге келеді

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Масса матрицасы \(M\) шоғырланған масса матрицасы, ал демпфирлеу матрицасы \(C = R_m M\) пропорционал демпфирлеу матрицасы ретінде алынса, \(\eqref{eq:2.5.15}\) теңдеуі бір мезгілдегі теңдеулер жүйесін шешуді қажет етпейді.

Сондықтан \(\eqref{eq:2.5.15}\) теңдеуінен \(U(t+\Delta t)\) төмендегі теңдеу арқылы табылады.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Қатысты тақырыптар¶

Талдау түрлері — динамикалық талдау функцияларына шолу және оларды таңдау
Әдебиеттер