Skip to content

Ньютон–Рафсон әдісі

Сызықтандыру және итерациялық рекурренттік формула

Сыртқы күштердің виртуал жұмысы және ғаламдық теңдеуді жинақтау бөлімінде алынған \(t_{n+1}\) уақытындағы түйіндік орын ауыстыру \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) жөніндегі сызықтық емес теңдеу Ньютон–Рафсон әдісімен шешіледі. \(t_n\) уақытына дейінгі түйіндік орын ауыстыру \(\boldsymbol{u}_n\) белгілі деп алынып, орын ауыстыру өсімшесі \(\Delta\boldsymbol{u}\) белгісіз шама ретінде

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

анықталады. Бұдан әрі сыртқы күш векторының түйіндік орын ауыстыруға тәуелділігі еленбейді және \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) деп алып,

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

теңдеуі шешіледі.

Ағымдағы \(\Delta\boldsymbol{u}\) шешіміндегі жанама қатаңдық

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

пайдаланылып, сызықтық емес теңдеу сызықтандырылса,

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

түріне келеді. \(i\)-ші итерациядағы түзету шамасын \(d\boldsymbol{u}_i\), ал итерация басындағы қалдық векторын

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

деп жазсақ, итерациялық рекурренттік формула

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

түрінде болады. Қалдық \(\boldsymbol{R}_i\) тепе-теңдіктен ауытқитын күш теңгерімсіздігіне сәйкес шама болып табылады.

Жанама қатаңдық матрицасын құру

Жанама қатаңдық \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) Ішкі күштердің виртуал жұмысын дискреттеу бөлімінде алынған элементтің ішкі күш векторын түйіндік орын ауыстыру бойынша дербес туындыландырып, элемент деңгейіндегі интеграл астындағы өрнектерді әр элемент аймағы бойынша интегралдап және жинақтау арқылы құрылады. Элемент деңгейіндегі интеграл астындағы өрнекті \(\boldsymbol{K}^e_X\) (бастапқы конфигурация белгіленуі, TL әдісі) немесе \(\boldsymbol{K}^e_x\) (ағымдағы конфигурация белгіленуі, UL әдісі) деп жазсақ, элементтің жанама қатаңдығы

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

түрінде беріледі. Төменде TL/UL интеграл астындағы өрнектерінің соңғы түрлері көрсетілген. Екеуі де материалдық қатаңдық мүшесі (бастапқы орын ауыстыру мүшесі) және геометриялық қатаңдық мүшесі (бастапқы кернеу мүшесі) қосындысына жіктеледі.

Total Lagrange әдісі

Total Lagrange әдісінде екінші Piola-Kirchhoff кернеуінің жылдамдығы \(\dot{\boldsymbol{S}}\) мен Green-Lagrange деформациясының жылдамдығы \(\dot{\boldsymbol{E}}\) арасында \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) сызықтық қатынасы бар деп алынады. Бұл сызықтық серпімді денелердің (St.Venant-Kirchhoff денелері) және гиперсерпімді денелердің материалдық заңдарына сәйкес келеді; FrontISTR-де Total Lagrange әдісі осы материалдарға қолданылады. Бұл жағдайда элементтің жанама қатаңдығының интеграл астындағы өрнегі тензорлық түрде

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

деп жазылады. Оң жақтағы бірінші мүше — материалдық қатаңдық мүшесі (бастапқы орын ауыстыру мүшесі), екінші мүше — геометриялық қатаңдық мүшесі (бастапқы кернеу мүшесі).

FrontISTR іске асыруында бұл интеграл астындағы өрнек Voigt белгіленуін қолданатын матрицалық түрде

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

есептеледі. Әр матрица төмендегідей. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) — Ішкі күштердің виртуал жұмысын дискреттеу бөлімінде енгізілген B матрицалары, ал \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) — материалдық заң тензоры \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) үшін Voigt белгіленуіндегі \(6\times 6\) материалдық қатаңдық матрицасы (Тензорлық белгілеу және математикалық негіздер). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) — геометриялық қатаңдық мүшесін матрицалар көбейтіндісі түрінде көрсету үшін қолданылатын төмендегі қайта реттеу матрицалары. Алдымен \(3\times 3\) екінші ретті \(\boldsymbol{A}\) тензорын 9 компонентті векторға қайта реттейтін \([\,\cdot\,]\) белгісін

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

деп анықтасақ, \(\boldsymbol{F}_9\) деформация градиентінің вариациясын \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) түрінде өрнектейтін \(9\times d n_e\) матрица болады; элемент түйіні \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) үшін сәйкес \(9\times d\) блок

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ — } 3\times 3 \text{ бірлік матрица}) \]

түрінде беріліп, элемент түйіндерінің ретімен көлденең орналасқан блоктардан \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) құралады. \(\boldsymbol{S}_9\) онымен бірге геометриялық қатаңдық мүшесі \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) түрінде өрнектелетіндей таңдалған \(9\times 9\) матрица

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

болып табылады.

Updated Lagrange әдісі

Updated Lagrange әдісінде салыстырмалы Kirchhoff кернеу тензорының Jaumann жылдамдығы \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) мен деформация жылдамдығы тензоры \(\boldsymbol{D}\) арасында \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) сызықтық қатынасы бар деп алынады. Бұл сызықтық серпімді, серпімді-пластикалық және сусымалы материалдарға ортақ гипосерпімді материалдық заңның түрі; FrontISTR-де Updated Lagrange әдісі осы материалдарға қолданылады. Бұл жағдайда ағымдағы конфигурацияда өрнектелген элементтің жанама қатаңдығының интеграл астындағы өрнегі тензорлық түрде

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

деп жазылады (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) — Truesdell жылдамдығы, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) — Almansi деформациясының сызықтық бөлігі, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) — ағымдағы конфигурацияға қатысты орын ауыстыру градиенті, \(\boldsymbol{L}\) — жылдамдық градиентінің тензоры). Оң жақтағы бірінші мүше — материалдық қатаңдық мүшесі, екіншісі — геометриялық қатаңдық мүшесі.

FrontISTR іске асыруында бұл интеграл астындағы өрнек Voigt белгіленуін қолданатын матрицалық түрде

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

есептеледі. \(\boldsymbol{b}\) — ағымдағы конфигурацияда құрылған B матрицасы (Ішкі күштердің виртуал жұмысын дискреттеу). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) TL әдісінде анықталған \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) матрицаларынан екінші PK кернеуі \(\boldsymbol{S}\)-ті Cauchy кернеуі \(\boldsymbol{\sigma}\)-мен, ал бастапқы конфигурация градиенті \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ді ағымдағы конфигурация градиенті \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-мен алмастыру арқылы алынады.

\(\boldsymbol{G}\) — гипосерпімді материалдық заң \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\)-ны Truesdell жылдамдығына негізделген материалдық заң ретінде жанама қатаңдық құрылымымен үйлестіруге қажет, Cauchy кернеуіне тәуелді түзету матрицасы; ол төртінші ретті тензор компоненттері \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\)-ті \(6\times 6\) Voigt белгіленуіне орналастыру арқылы

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

алынады.

Ғаламдық қатаңдық матрицасын жинақтау

Ғаламдық жанама қатаңдық \(\boldsymbol{K}\) элемент қатаңдығын \(\boldsymbol{K}^e\) әр түйін жұбы үшін \(d\times d\) блоктарға \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) бөліп, Элемент түйіндерінің физикалық шамаларын жинақтау бөлімінде енгізілген екінші ретті тензорларға арналған \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) жинақтау жиынын қолданып

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

алынған мәндерді \(i_g\) жолы мен \(i_h\) бағанына орналастыру арқылы құрылады. Іске асыруда \(\mathcal{E}^2\) жиыны айқын құрылмайды; оның орнына сәйкес блоктар элемент циклі ішінде тікелей қосылады. Матрица өлшемі бір түйіндегі еркіндік дәрежелерінің саны \(\times\) ғаламдық түйіндер саны \(n_g\) болатын квадрат матрица, бірақ элемент арқылы байланысқан түйіндер арасындағы компоненттерден басқасы \(0\) болғандықтан, ол сирек матрица түрінде сақталады.

TL және UL әдістерінің элемент қатаңдықтары бастапқы конфигурацияны ауыстырудан (түйін координаттары және B матрицасының құралу көзі) және \(\boldsymbol{G}\) матрицасының бар-жоғынан басқа бірдей түрде болады, сондықтан FrontISTR екеуін ортақ ішкі бағдарламада іске асырады.

Итерация алгоритмі

Жоғарыда айтылғандарды қорытындыласақ, итерация басында \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) деп алып, бастапқы қалдық \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) есептеледі, содан кейін \(i\)-ші итерацияда келесі қадамдар орындалады.

  1. Ағымдағы орын ауыстыру \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) кезінде жанама қатаңдық \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) жанама қатаңдық матрицасын құру рәсімімен есептеледі.
  2. Геометриялық шекаралық шарттарды енгізу үшін орын ауыстыруы шектелген еркіндік дәрежелеріне қатысты жанама қатаңдық матрицасы мен қалдық векторы түрлендіріліп, \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) алынады (Геометриялық шекаралық шарттарды өңдеу).
  3. \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) сызықтық теңдеуі шешіліп, түзету \(d\boldsymbol{u}_i\) табылады. Бұл рәсім көбіне итерациялық есептеудің есептеу жүктемесінің басым бөлігін құрайды.
  4. Орын ауыстыру өсімшесі \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) болып жаңартылып, соған сәйкес ішкі күш векторы \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) және қалдық \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) есептеледі.
  5. Жинақталу тексеріліп, орындалса итерация аяқталады. Қалдық \(\boldsymbol{R}_i\) ішіндегі геометриялық шекаралық шарт қойылған еркіндік дәрежелерінде шектеу реакциясына сәйкес компоненттер пайда болатындықтан, тексеру көрсеткіші осы компоненттерді алып тастаған \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) арқылы құрылады. Нақты тексеру көрсеткіштері мен шектер Жинақталу критерийлері бөлімінде қарастырылады. Жинақталмай, итерациялар шегіне жетсе, итерация сәтсіз деп саналады.

Итерация жинақталған кездегі \(\Delta\boldsymbol{u}\) шамасы \(\boldsymbol{u}_n\)-ге қосылып, \(t_{n+1}\) уақытындағы жинақталған орын ауыстыру \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) алынады да, келесі уақыт қадамына өтеді.

Қатысты тақырыптар

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status