Skip to content

Физикалық шамалар белгілерінің тізімі

Бұл бетте FrontISTR теориялық нұсқаулығында қолданылатын физикалық шамалардың белгілері тізілген. Белгілеу ережелері (векторлар мен тензорларды қалың қаріппен жазу, Einstein қосындылау ережесі, Voigt белгілеуі) туралы Тензорлық белгілеу және математикалық негіздер бөлімін қараңыз.

Конфигурациялар және координаталық жүйелер

Белгі Сипаттамасы
\(\boldsymbol{X}\) Материалдық нүктенің эталондық (бастапқы) конфигурациядағы орын векторы (материалдық координаталар)
\(\boldsymbol{x}\) Материалдық нүктенің ағымдағы конфигурациядағы орын векторы (кеңістіктік координаталар)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Қозғалыс бейнелеуі: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Эталондық конфигурацияда дене алып жатқан облыс
\(\Omega\) Ағымдағы конфигурацияда дене алып жатқан облыс
\(\Gamma_0\) \(\Omega_0\) облысының шекарасы
\(\Gamma\) \(\Omega\) облысының шекарасы
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Геометриялық (орын ауыстыру) шекара: \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) берілетін ағымдағы/эталондық конфигурация шекарасы
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Механикалық шекара: \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (немесе \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) берілетін ағымдағы/эталондық конфигурация шекарасы
\(\boldsymbol{n}\) Ағымдағы конфигурациядағы беттің сыртқа бағытталған бірлік нормаль векторы
\(\boldsymbol{N}\) Эталондық конфигурациядағы беттің сыртқа бағытталған бірлік нормаль векторы
\(t\) Уақыт

Ереже: эталондық конфигурациядағы физикалық шамалар бас әріппен немесе \(0\) төменгі индексімен, ал ағымдағы конфигурациядағы шамалар кіші әріппен белгіленеді.

Уақыт және инкременттер (инкременттік талдау)

Белгі Сипаттамасы
\(\Delta t\) Уақыт инкременті: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) \(t\) уақытындағы физикалық шама (сол жақ жоғарғы индекс). Мысал: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) — \(t\) уақытындағы Cauchy кернеуі
\(^{t}\Omega\) \(t\) уақытындағы ағымдағы конфигурация облысы
\(^{t}\Gamma\) \(t\) уақытындағы ағымдағы конфигурация шекарасы

Ереже: инкременттік талдауда \(t\) уақытына дейінгі күй белгілі деп, ал \(t + \Delta t\) уақытындағы күй белгісіз деп шешіледі. Уақытты айқын көрсету қажет болмаса, сол жақ жоғарғы индекс жазылмайды. Эталон ретінде бастапқы \(\Omega_0\) конфигурациясын қолданатын тұжырым Total Lagrange әдісі, ал инкремент басындағы ағымдағы \(^{t}\Omega\) конфигурациясын қолданатын тұжырым Updated Lagrange әдісі деп аталады.

Орын ауыстыру, жылдамдық, үдеу және көлемдік күш

Белгі Сипаттамасы
\(\boldsymbol{u}\) Орын ауыстыру векторы: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Геометриялық \(\Gamma_B\) шекарасында берілетін орын ауыстыру
\(\delta \boldsymbol{u}\) Виртуал орын ауыстыру (сынақ функциясы): \(\Gamma_B\) шекарасында \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\) Жылдамдық векторы: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Үдеу векторы: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Көлемдік күш (бірлік массаға)
\(\boldsymbol{t}\) Беттік күш векторы (бірлік ауданға): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Механикалық \(\Gamma_t\) шекарасында берілетін беттік күш (Neumann деректері)

Дифференциалдық операторлар

Белгі Сипаттамасы
\(\dot{(\cdot)}\) Материалдық уақыт туындысы (сол бір материалдық нүктені қадағалайтын уақыт туындысы): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Эталондық конфигурация градиенті (материалдық \(\boldsymbol{X}\) координаталары бойынша градиент): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Ағымдағы конфигурация градиенті (кеңістіктік \(\boldsymbol{x}\) координаталары бойынша градиент): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Симметриялық градиент операторы: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Ескертпе: \(\nabla_X\) және \(\nabla_x\) шамалары \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) қатынасымен байланысады. Индекссіз \(\nabla\) градиенті конфигурация контекстен анық болғанда немесе кіші деформациядағыдай айырмашылық жойылғанда қолданылады.

Деформация тензорлары

Белгі Сипаттамасы
\(\boldsymbol{F}\) Деформация градиентінің тензоры: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Көлем өзгерісінің қатынасы: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Оң Cauchy-Green деформация тензоры: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Сол Cauchy-Green деформация тензоры: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Жылдамдық градиентінің тензоры: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Деформация жылдамдығының тензоры (\(\boldsymbol{L}\) симметриялық бөлігі): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Айналу тензоры (\(\boldsymbol{L}\) антисимметриялық бөлігі): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Деформация өлшемінің тензорлары

Белгі Сипаттамасы
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange деформация тензоры (эталондық конфигурация): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi деформация тензоры (ағымдағы конфигурация): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi деформация тензорының сызықтық бөлігі (ағымдағы конфигурациядағы симметриялық орын ауыстыру градиенті): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Кіші деформация тензоры (сызықтық жуықтау): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Ескертпе: \(\boldsymbol{E}\) негізінен Total Lagrange әдісінде, ал \(\boldsymbol{D}\) негізінен Updated Lagrange әдісінде қолданылады.

Кернеу тензорлары

Белгі Сипаттамасы
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy кернеу тензоры (нақты кернеу, ағымдағы конфигурация): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) 1-Piola-Kirchhoff кернеу тензоры (номинал кернеу): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) 2-Piola-Kirchhoff кернеу тензоры (эталондық конфигурация, симметриялық): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Кернеу тензорлары арасындағы түрлендіру қатынастары:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Ереже: Total Lagrange әдісінде \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), ал Updated Lagrange әдісінде \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) жұбы қолданылады.

Тығыздық және масса

Белгі Сипаттамасы
\(\rho\) Ағымдағы конфигурациядағы масса тығыздығы
\(\rho_0\) Эталондық конфигурациядағы масса тығыздығы

Массаның сақталу заңы: \(\rho_0 = J\rho\).

Материал тұрақтылары (сызықтық серпімділік)

Белгі Сипаттамасы
\(E\) Young модулі (бойлық серпімділік модулі)
\(\nu\) Poisson коэффициенті
\(\lambda\) Lamé-нің 1-тұрақтысы: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Lamé-нің 2-тұрақтысы (ығысу модулі): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Серпімділік тензоры (4-ретті): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), компоненттері \(C_{ijkl}\)
\(D\) (немесе \(\hat{\tilde{C}}\)) Материал матрицасы (Voigt белгілеуі, 3 өлшемде \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Изотропты сызықтық серпімді материалдың серпімділік тензорының компоненттері:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Гиперсерпімді материалдар

Белгі Сипаттамасы
\(W(\boldsymbol{C})\) Серпімді потенциал функциясы (деформация энергиясының тығыздық функциясы)
\(I_1, I_2, I_3\) Оң Cauchy-Green тензоры \(\boldsymbol{C}\)-ның негізгі инварианттары
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) \(\boldsymbol{C}\)-ның келтірілген инварианттары (көлемдік өзгеріс бөлінген)
\(C_1, C_2\) Mooney-Rivlin моделінің материал тұрақтылары
\(D\) Көлемдік серпімділікке қатысты материал тұрақтысы

Серпімді-пластикалық материалдар

Белгі Сипаттамасы
\(\boldsymbol{D}^e\) Деформация жылдамдығы тензорының серпімді компоненті
\(\boldsymbol{D}^p\) Деформация жылдамдығы тензорының пластикалық компоненті
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Аққыштық функциясы
\(\kappa\) Пластикалық күйді сипаттайтын ішкі айнымалы (изотропты қатаю айнымалысы)
\(\lambda^p\) Пластикалық көбейткіш (пластикалық деформация жылдамдығының көбейткіші): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Пластикалық потенциал (ассоциацияланған ағыс ережесінде \(\Theta = F\))
\(\bar{\sigma}\) Эквивалент кернеу (мысалы, von Mises кернеуі)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Эквивалент пластикалық деформация
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Изотропты қатаю функциясы

Толықтыру шарты: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Ақырлы элементтер әдісі

Белгі Сипаттамасы
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Ақырлы элементтерге бөлу арқылы жуықталған ағымдағы және эталондық конфигурациялар облыстары: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Элементтің ағымдағы және эталондық конфигурациялардағы облысы
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Элемент шекарасының механикалық шекараға тиесілі бөлігі
\(\boldsymbol{r}\) Табиғи координаталар (элементтің жергілікті координаталары)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) \(\alpha\) түйініне сәйкес табиғи координаталардағы нүкте
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) \(e\) элементінің \(\alpha\) түйініне сәйкес пішін функциясы
\(n_e\) Элементті құрайтын түйіндер саны
\(n_g\) Глобал түйіндердің жалпы саны
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) \(\alpha\) элемент түйінінің координаталары мен орын ауыстыруы
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Элементтің түйіндік координаталары мен орын ауыстыру векторлары: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) және т.б.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Глобал түйіндік координаталар мен орын ауыстыру векторлары (түйін нөмірі → еркіндік дәрежесі ретімен)
\(\boldsymbol{B}\) Деформация–орын ауыстыру қатынасының матрицасы (B матрицасы)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Пішін функциялары матрицасы: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) — \(\alpha\) түйінінің \(N_\alpha^e\) пішін функциясы диагональға қойылған \(d \times d\) блок, ал \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Элементтің қаттылық матрицасы
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Элемент қаттылық матрицасының интеграл астындағы мүшелері (эталондық және ағымдағы конфигурацияларда): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL әдісі), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL әдісі) Элементтің ішкі күш векторы
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) \(\alpha\) элемент түйініне әсер ететін түйіндік сыртқы күш және элементтің түйіндік сыртқы күш векторы: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Глобал ішкі күш векторы және глобал сыртқы күш векторы: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\), \(\boldsymbol{F}\) үшін де солай
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) \(i_g\) глобал түйініндегі түйіндік ішкі күш және түйіндік сыртқы күш (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) векторларының түйіндік блоктары)
\(\boldsymbol{K}\) Глобал жанама қаттылық матрицасы: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(3\times 3\) блогы \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) \(i_g\) жолы мен \(i_h\) бағанына орналастырылған матрица
\(\boldsymbol{R}_i\) Newton-Raphson итерациясындағы қалдық вектор: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Newton-Raphson итерациясындағы түзету (\(i\)-итерацияда \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) сызықтық теңдеуін шешу арқылы алынады)
\(i_g\) Глобал түйін нөмірі (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) \(e\) элементінің \(\alpha\) жергілікті түйін нөміріне сәйкес глобал түйін нөмірі: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) \(i_g\) глобал түйін нөміріне сәйкес \((e, \alpha)\) жұптарының жиыны: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Құрастыру операцияларында қолданылады
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) \((i_g, i_h)\) глобал түйін нөмірлері жұбына сәйкес \((e, \alpha, \beta)\) үштіктерінің жиыны: қаттылық матрицасын құрастыруда қолданылады
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Элементті құрайтын түйіндерге қатысты индекстер
\(i, j, k, l, \ldots\) Еркіндік дәрежелеріне қатысты индекстер (3 өлшемде \(1, 2, 3\))

Жоғары өнімді элементтер және құрылымдық элементтер

Белгі Сипаттамасы
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) B-bar әдісінде көлемдік бөлігі түзетілген деформация–орын ауыстыру қатынасының матрицасы (көлемдік компонент элемент орталығында есептелген B матрицасымен алмастырылады)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) F-bar әдісінде көлемдік бөлігі түзетілген деформация градиенті: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Элемент орталығында \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) есептелген деформация градиентінің көлемдік қатынасы: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Үйлесімсіз мода элементіндегі ішкі еркіндік дәрежелерінің векторы (элемент шекарасында үздіксіздікті қамтамасыз етпейтін қосымша орын ауыстыру модаларының коэффициенттері)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Үйлесімсіз модалардың пішін функциялары: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Қабықша элементінің қалыңдығы
\(A\) Арқалық элементі қимасының ауданы
\(I\) Арқалық элементі қимасының ауданның 2-моменті
\(G\) Ығысу модулі: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Қатысты тақырыптар

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status