Skip to content

Тензорлық белгілеу және математикалық негіздер

Бұл бөлімде FrontISTR теориялық нұсқаулығының кейінгі бөлімдерінде қолданылатын тензорлық, индекстік және Voigt белгілеу ережелері жинақталады. Мұнда физикалық шамалардың анықтамаларына тәуелсіз таза белгілеу ережелері ғана беріледі. Континуум қозғалысындағы конфигурацияға (бастапқы/ағымдағы) тәуелді белгілеу ережелері (бас/кіші әріптерді қолдану, материалдық және кеңістіктік туындыларды ажырату) конфигурация ұғымдары енгізілетін Қозғалыс, деформация және деформация өлшемдері бөлімінде берілген.

Тензорлық белгілеу

Векторлар мен тензорларды қалың қаріппен белгілеу

Қаріпке қатысты негізгі ереже бойынша скаляр шамалар және векторлар мен тензорлардың компоненттері қалыпты қаріппен (\(\rho\), \(x_i\) т.б.), ал векторлық және тензорлық шамалардың өздері қалың қаріппен (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) т.б.) жазылады.

Einstein жинақтау ережесі

Арнайы ескертілмесе, бір индекс бір мүшеде екі рет кездескенде сол индекс бойынша қосынды алынатын Einstein жинақтау ережесі қолданылады. Мысалы,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ал \(\boldsymbol{A}\) және \(\boldsymbol{B}\) тензорларының \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) көбейтіндісінің \(i,j\) компоненті

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

түрінде болады. Индекстерге қатысты ереже бойынша, арнайы ескертілмесе, \(i, j, k, l, \ldots\) индекстері еркіндік дәрежелеріне (3D жағдайда \(1, 2, 3\)) қатысты, ал грек кіші әріптері \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) элемент түйіндеріне қатысты индекстерді білдіреді.

Ішкі көбейтінді, транспозиция және тензорлық көбейтінді

\(\boldsymbol{A}\) тензорының транспозициясы \(\boldsymbol{A}^T\) деп белгіленеді. Екінші ретті \(\boldsymbol{A}\) және \(\boldsymbol{B}\) тензорларының ішкі көбейтіндісі (қос жинақтау)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

деп жазылады. \(\boldsymbol{a}\) және \(\boldsymbol{b}\) векторларының ішкі көбейтіндісі \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), ал тензорлық көбейтіндісі \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt жазылымы

Кернеу мен деформация еркіндік дәрежелеріне қатысты екінші ретті симметриялық тензорлар, ал олардың сызықтық байланысын сипаттайтын коэффициент төртінші ретті тензор болады. Мұндай тензорларды бағдарламада тікелей өңдеу есептеу күрделілігі мен бағдарламалау (көпөлшемді массивтер және терең кірістірілген циклдер) тұрғысынан тиімсіз. Сондықтан әдеттегі ақырлы элементтер бағдарламаларында симметрияны пайдаланып, кернеу мен деформация бағандық векторға, ал төртінші ретті серпімділік тензоры екі өлшемді матрицаға сығылады. Бұл Voigt жазылымы деп аталады.

Бұдан әрі \(\boldsymbol{A}\) тензорлық шамасының матрицалық немесе векторлық жазылымы \(\hat{A}\) деп белгіленіп, бастапқы тензордан ажыратылады.

Кернеу мен деформацияның векторлық жазылымы

Симметриялық кернеу тензоры \(\boldsymbol{\sigma}\) және деформация тензоры \(\boldsymbol{\varepsilon}\) үшін 2D жағдайда

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

3D жағдайда

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

түріндегі бағандық векторлар қолданылады. Вариациялар мен туындылар сияқты туынды шамаларға да сол ереже қолданылады. Деформация векторындағы ығысу компоненттеріне 2 коэффициенті қосылатынына назар аударыңыз (кернеу жағында ол жоқ). Осы айырмашылықтың арқасында тензорлық ішкі көбейтінді векторлық ішкі көбейтінді ретінде

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

түрінде ықшам жазылады. Іске асыруда ығысу деформациясындағы 2 коэффициентін шатастыру оңай болғандықтан, әрдайым «кернеуде жоқ / деформацияда бар» ережесін есте ұстау қажет. Бастапқы конфигурация шамаларына (екінші Piola-Kirchhoff кернеуі \(\boldsymbol{S}\) және Green-Lagrange деформациясы \(\boldsymbol{E}\)) да дәл осы Voigt ережесі қолданылады.

Төртінші ретті тензордың матрицалық жазылымы

Кернеу мен деформацияның \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) сызықтық байланысы үшін (компоненттер түрінде \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), \(\boldsymbol{\varepsilon}\) симметриясын пайдалансақ,

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

түрінде қайта жазылады. 3D жағдайда \(\tilde{C}\) шамасын 6×6 материал матрицасы \(\hat{\tilde{C}}\) ретінде орналастырсақ, бастапқы тензорлық қатынас

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

түрінде өрнектеледі. Бұдан әрі бұл нұсқаулықта арнайы ескертілмесе, материал матрицасы \(D\) (немесе \(\hat{C}\)) деп белгіленеді. Изотропты сызықтық серпімділік үшін нақты компоненттерді Сызықтық серпімділік бөлімінен қараңыз.

Дифференциалдық операторлардың белгілеу ережелері

Симметриялық градиент операторы

\(\boldsymbol{u}\) векторлық өрісі үшін симметриялық градиент операторы \(\nabla_S\)

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

түрінде анықталады. Компоненттермен \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Кіші деформация \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) осы оператор арқылы ықшам өрнектеледі. Ақырлы деформацияларда градиент алынатын конфигурацияны (бастапқы/ағымдағы) таңдау Қозғалыс, деформация және деформация өлшемдері бөлімінде қарастырылады.

Материалдық уақыт туындысы

\(A\) шамасының материалдық уақыт туындысы (сол бір материалдық нүктені бақылай отырып алынған уақыт туындысы) үстіңгі нүктемен \(\dot{A}\) деп белгіленеді:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Жылдамдық пен үдеу осы ережеге сәйкес белгіленеді.

Қатысты тақырыптар

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status