Инкременттік талдау құрылымы¶

Инкременттік талдаудың қажеттілігі¶

Жоғарыда айтылғандай, кіші деформация есептерін талдауда тепе-теңдік теңдеуі сияқты негізгі теңдеулерге эквивалент виртуалды жұмыс принципін пайдаланып, оны ақырлы элементтермен дискреттеу арқылы ақырлы элементтік талдау жүргізуге болады. Құрылымның үлкен деформациясын қарастыратын шекті деформация есептерінде де негізінен виртуалды жұмыс принципі қолданылатыны өзгермейді.

Алайда шекті деформация есептерінде материал сызықтық деп жорамалданса да, виртуалды жұмыс принципінің теңдеуі орын ауыстыруға қатысты сызықтық емес теңдеу болады. Сызықтық емес теңдеуді шешу үшін әдетте итерациялық әдіспен қайталама есептеулер қолданылады.

Мұндай итерациялық есептеуде есеп белгілі бір кіші жүктеме өсімі үшін бөліктермен орындалып, оларды жинақтау арқылы соңғы деформация күйіне жететін инкременттік талдау әдісі қолданылады. Кіші деформация есебі жорамалданғанда деформация мен кернеуді анықтайтын конфигурация деформацияға дейінгі және кейінгі күйлер арасында арнайы ажыратылмайтын. Яғни кіші деформация жорамалында негізгі теңдеулер жазылатын конфигурация деформацияға дейін немесе кейін болуы маңызды емес еді.

Шекті деформация есебінде инкременттік талдау жүргізілгенде бастапқы конфигурацияны ма, әлде өсім басталған сәттегі конфигурацияны ма анықтамалық конфигурация ретінде алуға байланысты тұжырымдама өзгереді. Біріншісі total Lagrange әдісі, екіншісі updated Lagrange әдісі деп аталады. Толық мәлімет үшін тарау соңындағы әдебиеттерді және т.б. қараңыз.

Бастапқы теңдеу: \(t'\) уақытындағы виртуалды жұмыс принципі¶

\(t\) уақытына дейінгі күй белгілі, ал \(t' = t + \Delta t\) уақытындағы күй белгісіз болатын инкременттік талдауды қарастырайық (2.2.1-сурет). \(t'\) уақытындағы тепе-теңдік теңдеуі, шекаралық шарттар және виртуалды жұмыс принципі (ағымдағы конфигурациядағы өрнек, Cauchy кернеуі \(^{t'}\sigma\) және Almansi деформациясының сызықтық бөлігі \(^{t'} A_{(L)}\) арқылы) виртуалды жұмыс принципінде берілгендей.

2.2.1-сурет Инкременттік талдау ұғымы

Алайда бұл бастапқы теңдеу \(t'\) уақытындағы (белгісіз) конфигурацияда жазылғандықтан, нақты шешуде \(0\) уақытындағы бастапқы конфигурация \(V\) немесе \(t\) уақытындағы ағымдағы конфигурация \(^{t'} v\) анықтамалық конфигурация ретінде қайта таңдалып, теңдеу инкременттік түрге ауыстырылғаннан кейін шешіледі:

• Total Lagrange әдісі — бастапқы конфигурация \(V\)-ге сілтеме жасайды. Екінші PK кернеуі \(\boldsymbol{S}\) және Green-Lagrange деформациясы \(\boldsymbol{E}\) қолданылады.
• Updated Lagrange әдісі — өсім басталған сәттегі ағымдағы конфигурация \(^{t}v\)-ге сілтеме жасайды. Cauchy кернеуі \(\boldsymbol{\sigma}\) және Almansi деформациясының сызықтық бөлігі \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) қолданылады.

Екі әдістің кеңістіктік дискреттелуі (B матрицасы және ішкі күш векторы) үшін ішкі күштердің виртуалды жұмысын дискреттеуді, ал сызықтандыру мен жанама қаттылықты құру үшін жанама қаттылық матрицасын қараңыз.

Қатысты бөлімдер¶

• Виртуалды жұмыс принципі — бастапқы теңдеудің негізгі түрі (ағымдағы және бастапқы конфигурациялардағы әлсіз форма)
• Ішкі күштердің виртуалды жұмысын дискреттеу — TL/UL үшін B матрицалары мен ішкі күш векторлары
• Жанама қаттылық матрицасы — сызықтандыру арқылы \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\)
• Newton-Raphson әдісі — итерациялық алгоритм