Skip to content

Виртуал жұмыс принципі

Кернеу және сақталу заңдары бөлімінде шығарылған тепе-теңдік теңдеуі мен шекаралық шарттарға сүйене отырып, үздіксіз орта механикасының шекаралық есептерінің әлсіз түрі болып табылатын виртуал жұмыс принципі шығарылады. Ақырлы элементтер әдісімен дискреттеу осы әлсіз түрден басталады. Бұл тарауда ағымдағы конфигурациядағы (Cauchy кернеуі және Almansi деформациясының сызықтық бөлігі арқылы) және бастапқы конфигурациядағы (екінші Piola-Kirchhoff кернеуі және Green-Lagrange деформациясы арқылы) екі түр де беріліп, олардың баламалылығы көрсетіледі, содан кейін кіші деформация жағдайына келтірілуі тексеріледі.

Тепе-теңдік теңдеуі және шекаралық шарттар

Үздіксіз ортаға әсер ететін бірлік массаға шаққандағы көлемдік күшті \(\boldsymbol{g}\) деп алып, ағымдағы конфигурацияда \(\Omega\) аймағын алып жатқан денені қарастырайық. \(\Gamma\) шекарасы орын ауыстыру \(\bar{\boldsymbol{u}}\) мәніне берілген геометриялық шекара \(\Gamma_B\) және беткі күш \(\bar{\boldsymbol{t}}\) мәніне берілген механикалық шекара \(\Gamma_t\) болып бөлінеді; \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\), \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Статикалық есепте Кернеу және сақталу заңдары бөлімінде келтірілген импульс сақталу заңындағы инерция мүшесін алып тастаған

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

теңдеу тепе-теңдік теңдеуі ретінде алынады. Шекаралық шарттар

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

түрінде беріледі. Бұдан әрі виртуал жұмыс принципі тепе-теңдік теңдеуі мен механикалық шекаралық шарттың \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) әлсіз түрі ретінде шығарылады. Геометриялық шекаралық шарт \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) сынақ функциясын таңдау арқылы енгізіледі.

Ағымдағы конфигурациядағы әлсіз түр

Әлсіз түрде белгісіз орын ауыстырудың рұқсат етілген кеңістігі мен сынақ функцияларының кеңістігі тиісінше

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

деп анықталады. Мұнда \(d\) — кеңістік өлшемі, \(H^1(\Omega)\) — бірінші әлсіз туындыларына дейін квадрат бойынша интегралданатын функциялардың Sobolev кеңістігі, ал \(\delta\) — вариация белгісі. Ағымдағы конфигурация түрінде \(\Omega\) деформацияланған конфигурация болып табылады; нақты сандық шешуде ол бастапқы конфигурацияға немесе белгілі аралық конфигурацияға кері бейнеленіп қарастырылады.

Тепе-теңдік теңдеуін \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) салмақ функциясына көбейтіп, Gauss дивергенция теоремасы мен механикалық шекаралық шартты қолдансақ, ағымдағы конфигурациядағы виртуал жұмыс принципі келесі теңдеумен беріледі.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Мұнда \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) — Almansi деформация тензорының сызықтық бөлігі, ол

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

түрінде анықталады. Оның вариациясы \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Яғни \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) табылып, ол кез келген \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) үшін виртуал жұмыс теңдеуін қанағаттандыруы талап етіледі. Сол жақ — ішкі күштердің виртуал жұмысы, оң жақ — берілген беткі күш пен көлемдік күштің сыртқы виртуал жұмысы.

Бұл теңдеу деформацияланған (ағымдағы конфигурация) аймақта жазылғандықтан, нақты шешу әдісінде бастапқы конфигурация \(\Omega_0\) (бастапқы конфигурация) немесе белгілі аралық конфигурация қайтадан тірек конфигурация ретінде таңдалып, теңдеу өсімшелік түрге келтірілгеннен кейін шешіледі. Тірек конфигурацияны нақты таңдау (Total Lagrange / Updated Lagrange) және өсімшелік жіктеу үшін Өсімшелік талдау құрылымы бөлімін қараңыз.

Бастапқы конфигурациядағы әлсіз түр

Бастапқы конфигурацияда \(\Omega_0\) аймағын алып жатқан денені қарастырып, оның \(\Gamma_0\) шекарасын \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) деп бөлеміз. Ағымдағы конфигурациядағы өрнекті бастапқы конфигурацияға кері бейнелегенде кернеу-деформацияның жұмыс бойынша түйіндес жұбы екінші Piola-Kirchhoff кернеуі \(\boldsymbol{S}\) және Green-Lagrange деформациясы \(\boldsymbol{E}\) болады. Бұл кезде бастапқы конфигурациядағы виртуал жұмыс принципі

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

түрінде жазылады. Мұнда \(\rho_0\) — бастапқы конфигурациядағы массалық тығыздық; масса сақталу заңы \(\rho_0 = J\rho\) бойынша бұл ағымдағы конфигурациядағы көлемдік күш өрнегіне баламалы.

Ағымдағы және бастапқы конфигурация өрнектерінің баламалылығы

Екі өрнектегі ішкі күштердің виртуал жұмысы деформация градиенті \(\boldsymbol{F}\) пен көлем қатынасы \(J = \det \boldsymbol{F}\) арқылы түрлендіру нәтижесінде бірдей болады, яғни

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Сыртқы күш мүшелері де масса сақталуы және беткі күшті түрлендіру арқылы баламалы. Сондықтан ағымдағы конфигурациядағы және бастапқы конфигурациядағы виртуал жұмыс теңдеулері бір принципті әртүрлі конфигурацияда өрнектейді. Бастапқы конфигурацияны тірек ететін шешу әдісі Total Lagrange әдісіне, ал ағымдағы конфигурацияны (алдыңғы жинақталған конфигурацияны) тірек ететін шешу әдісі Updated Lagrange әдісіне сәйкес келеді.

Кіші деформацияға келтіру

Кіші деформация жорамалдары \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) және \(J \approx 1\) орындалғанда ағымдағы және бастапқы конфигурациялар арасындағы айырмашылық жойылады, екінші PK кернеуі Cauchy кернеуімен бірдей болады (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), ал Green-Lagrange деформациясы мен Almansi деформациясының сызықтық бөлігі кіші деформация \(\boldsymbol{\varepsilon}\) түріне келтіріледі.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Бұл жағдайда виртуал жұмыс принципі Cauchy кернеуі \(\boldsymbol{\sigma}\) және кіші деформация \(\boldsymbol{\varepsilon}\) арқылы жазылатын әлсіз түрге

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

келтіріледі. Бұл кіші деформациялы сызықтық серпімді статикалық талдауда тікелей дискреттеуге қолданылатын әлсіз түр (Сызықтық серпімді статикалық талдау (кіріспе және қосымша) осы түрден басталып, элемент қатаңдығы \(\boldsymbol{K}^e\) құрылуынан ғаламдық \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) теңдеуін жинақтауға дейін көрсетеді).

Сызықтық серпімді материалдық заң \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) қойылып, Voigt белгіленуінде \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) деп жазылса, әлсіз түр

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

түріне келеді.

Қатысты тақырыптар

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status