Кернеу және сақталу заңдары¶

Бұл бөлімде кернеу тензорларының анықтамалары мен өзара байланыстары, сондай-ақ масса, импульс және бұрыштық импульс сақталу заңдарынан шығатын тепе-теңдік теңдеулері мен кернеу симметриясы жүйеленеді. Үш кернеу тензоры — Cauchy кернеуі \(\boldsymbol{\sigma}\), бірінші Piola-Kirchhoff кернеуі \(\boldsymbol{P}\) және екінші Piola-Kirchhoff кернеуі \(\boldsymbol{S}\) — анықтамалық бет пен күш векторына қай конфигурацияны қолдануға байланысты енгізіледі. Конфигурация, қозғалыс және деформация градиентінің анықтамалары үшін Қозғалыс, деформация және деформация өлшемдері, ал таңбалар тізімі үшін Физикалық шамалардың таңбалар тізімі бөлімдерін қараңыз.

Cauchy кернеу тензоры¶

Ағымдағы конфигурациядағы \(\boldsymbol{x}\) нүктесінде орналасқан шағын бетке (ауданы \(d\Gamma\), сыртқы бірлік нормалі \(\boldsymbol{n}\)) әсер ететін күшті \(d\boldsymbol{f}\) деп алып, кернеу векторын \(\boldsymbol{t}\) бірлік ауданға келетін күш арқылы \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) деп анықтаймыз. \(\boldsymbol{t}\) әрі \(\boldsymbol{x}\) орнына, әрі \(\boldsymbol{n}\) нормаліне тәуелді. Шағын тетраэдрге импульстің сақталу заңын қолданғанда \(\boldsymbol{t}\) шамасы \(\boldsymbol{n}\) бойынша сызықтық болады және екінші ретті \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) тензоры бар болып,

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

қатынасы кез келген \(\boldsymbol{n}\) үшін орындалады (Cauchy кернеу теоремасы). Бұл \(\boldsymbol{\sigma}\) тензоры Cauchy кернеу тензоры деп аталады және ағымдағы конфигурация геометриясына қатысты бірлік ауданға түсетін күш мағынасында нақты кернеу деп те аталады. \(\sigma_{ij}\) компоненті ағымдағы конфигурацияда \(x_j\) координата осіне перпендикуляр шағын беттің бірлік ауданына әсер ететін күштің \(x_i\) компонентін білдіреді.

Төменде қарастырылатын бұрыштық импульстің сақталу заңына сәйкес Cauchy кернеуі симметриялық тензор болады:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

3D жағдайда оның алты тәуелсіз компоненті бар (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Кернеуді Voigt жазылымындағы векторға айналдыру осы симметрияға сүйенеді (Тензорлық белгілеу және математикалық негіздер бөлімін қараңыз). Cauchy кернеуі FrontISTR-дің Updated Lagrange әдісімен геометриялық сызықтық емес талдауында және кіші деформация талдауында кернеу нәтижесін шығару үшін қолданылады.

Бірінші және екінші Piola-Kirchhoff кернеулері¶

Ақырлы деформацияларда кернеуді бастапқы конфигурацияны анықтамалық бет пен вектор ретінде пайдаланып өрнектеу жиі қолайлы, сондықтан екі Piola-Kirchhoff кернеу тензоры енгізіледі. Бастапқы конфигурациядағы шағын беттің ауданын \(d\Gamma_0\), сыртқы бірлік нормалін \(\boldsymbol{N}\) деп алайық.

Бірінші Piola-Kirchhoff кернеуі (бірінші PK кернеуі, номинал кернеу) \(\boldsymbol{P}\) ағымдағы конфигурациядағы \(d\boldsymbol{f}\) күшін бастапқы конфигурациядағы шағын бетке әсер еткізгендегі кернеу тензоры ретінде

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

түрінде анықталады. Nanson формуласы \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) және Cauchy кернеу теоремасынан Cauchy кернеуімен байланыс

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

алынады. Бірінші PK кернеуі жалпы жағдайда симметриялы емес тензор.

Екінші Piola-Kirchhoff кернеуі (екінші PK кернеуі) \(\boldsymbol{S}\) ағымдағы конфигурациядағы \(d\boldsymbol{f}\) күшін \(\boldsymbol{F}^{-1}\) арқылы бастапқы конфигурацияға кері түрлендіріп, бастапқы конфигурацияның шағын бетіне әсер еткізгендегі кернеу тензоры ретінде

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

түрінде анықталады. Күш векторы да, әсер ету беті де бастапқы конфигурация шамаларымен өрнектеледі; бұл тензор қатты дене айналуына инвариантты және симметриялық. Бірінші PK кернеуімен байланысы және Cauchy кернеуіне түрлендіру өрнектері:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Екінші PK кернеуі гиперсерпімді деформация энергиясының \(W(\boldsymbol{C})\) функциясынан \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) түрінде алынады және Total Lagrange әдісінде Green-Lagrange деформациясы \(\boldsymbol{E}\)-мен кернеулік қосарланған \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) жұбы ретінде қолданылады.

Анықтамалық конфигурация мен симметрия төмендегі кестеде берілген. Кіші деформация шегінде (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) үш кернеу түрі бір-біріне теңеседі.

Кернеу тензоры	Анықтамалық бет	Күш векторы	Симметрия	Қолданылуы
Cauchy кернеуі \(\boldsymbol{\sigma}\)	Ағымдағы конфигурация \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Ағымдағы конфигурация \(d\boldsymbol{f}\)	Симметриялық	Updated Lagrange әдісі, кіші деформация талдауы
Бірінші PK кернеуі \(\boldsymbol{P}\)	Бастапқы конфигурация \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Ағымдағы конфигурация \(d\boldsymbol{f}\)	Жалпы жағдайда симметриялы емес	Бастапқы конфигурациядағы тепе-теңдік теңдеуі
Екінші PK кернеуі \(\boldsymbol{S}\)	Бастапқы конфигурация \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Бастапқы конфигурация \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Симметриялық	Total Lagrange әдісі, гиперсерпімділік

Масса мен импульстің сақталу заңдары және тепе-теңдік теңдеуі¶

Ағымдағы конфигурациядағы масса тығыздығын \(\rho\), бастапқы конфигурациядағысын \(\rho_0\) деп алсақ, массаның сақталу заңы \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) көлем элементінің \(dv = J\, dV\) түрлендіруі арқылы жергілікті түрде

\[ \rho_0 = J \rho \]

түріне келтіріледі.

Денелік күшті (бірлік массаға) \(\boldsymbol{g}\), үдеуді \(\boldsymbol{a}\) деп алып, импульстің сақталу заңына (Euler-дің бірінші қозғалыс заңы) Cauchy кернеу теоремасы мен Gauss дивергенция теоремасын қолдансақ, ағымдағы конфигурациядағы жергілікті тепе-теңдік теңдеуі (қозғалыс теңдеуі)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

алынады. Nanson формуласы мен \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) арқылы бастапқы конфигурация интегралына түрлендірсек, бастапқы конфигурациядағы жергілікті түр

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

алынады. Екі түр кернеуді түрлендіру заңы және \(\rho_0 = J\rho\) арқылы өзара эквивалент. Инерциялық мүшені елемесек,

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

бұлар статикалық тепе-теңдік теңдеулері және FrontISTR статикалық талдауының (сызықтық және сызықтық емес) бастапқы теңдеулері болып табылады.

Бұрыштық импульстің сақталу заңы және кернеу симметриясы¶

Бұрыштық импульстің сақталу заңын (Euler-дің екінші қозғалыс заңы) импульстің сақталу заңынан алынған тепе-теңдік теңдеуімен біріктірсек, Cauchy кернеу тензорының симметриясы

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

шығады және 3D жағдайда ол алты тәуелсіз компоненттен тұрады. \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) түрлендіру теңдеуінің екі жағын транспонирлеу және \(\boldsymbol{F}\) матрицасының қайтымдылығы арқылы екінші PK кернеуінің де симметриялық екені алынады:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

және оның алты тәуелсіз компоненті бар. Ал бірінші PK кернеуі \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) жалпы жағдайда симметриялы емес; тек \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) қатынасы (яғни \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) симметриялық) орындалады, сондықтан оның тоғыз тәуелсіз компоненті бар.

Бұл симметриялар кернеуді Voigt жазылымындағы алты компонентті векторға айналдырудың негізі. Voigt жазылымының ережелері мен материал матрицасын құру үшін Тензорлық белгілеу және математикалық негіздер және Сызықтық серпімділік бөлімдерін қараңыз.